लॉजिस्टिक ग्रोथ मॉडल कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

वहन क्षमता (K)

आरंभिक जनसंख्या (P0)

वृद्धि दर (r)

समय (t)

परिणाम

समय t पर जनसंख्या, P(t)

109.57

इकाइयाँ

स्थिरांक A = (K - P0)/P0	99
शुरुआत से वृद्धि (P(t) - P0)	99.57

लॉजिस्टिक ग्रोथ मॉडल क्या है?

लॉजिस्टिक ग्रोथ मॉडल यह बताता है कि कोई जनसंख्या जब छोटी होती है तो तेज़ी से बढ़ती है, और जैसे-जैसे वह अधिकतम टिकाऊ आकार — जिसे वहन क्षमता (K) कहते हैं — के पास पहुँचती है, उसकी वृद्धि धीमी पड़ जाती है। असीमित घातीय (exponential) वृद्धि के विपरीत, लॉजिस्टिक वक्र S-आकार का (सिग्मॉइड) होता है: शुरुआत में तेज़ वृद्धि, K/2 पर एक मोड़-बिंदु (inflection point), और फिर K के पास जाकर समतल हो जाना। इसका व्यापक उपयोग पारिस्थितिकी, जीवविज्ञान, महामारी विज्ञान, और यहाँ तक कि तकनीक अपनाने (technology adoption) व बाज़ार संतृप्ति (market saturation) के मॉडलों में होता है।

लॉजिस्टिक वक्र S-आकार का होता है, जो P0 से बढ़ता है और वहन क्षमता K पर स्थिर हो जाता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

चार मान दर्ज करें: वहन क्षमता K (ऊपरी सीमा), समय शून्य पर आरंभिक जनसंख्या P0, आंतरिक वृद्धि दर r (प्रति इकाई समय), और बीता हुआ समय t। कैलकुलेटर आपको जनसंख्या P(t), मॉडल स्थिरांक A, और शुरुआत से अब तक की कुल वृद्धि बताता है।

सूत्र की व्याख्या

मॉडल है $$P(t) = \frac{\text{K}}{1 + A\,e^{-\text{r}\cdot\text{t}}}$$ जहाँ \(A = \frac{\text{K} - \text{P}_0}{\text{P}_0}\) होता है। स्थिरांक \(A\) आरंभिक स्थितियों से तय होता है ताकि \(P(0) = P_0\) बना रहे। जैसे-जैसे \(t\) बढ़ता है, पद \(e^{-rt}\) घटकर शून्य की ओर जाता है, हर (denominator) 1 के करीब पहुँचता है, और \(P(t)\) धीरे-धीरे \(K\) के पास पहुँच जाता है। वृद्धि दर \(r\) यह तय करती है कि यह चढ़ाव कितना तीव्र होगा।

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वृद्धि P0 के पास धीमी, K/2 (विभक्ति बिंदु) पर सबसे तेज़, फिर P के K की ओर बढ़ने पर धीमी हो जाती है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(K = 1000\), \(P_0 = 10\), \(r = 0.5\), और \(t = 5\)। सबसे पहले $$A = \frac{1000 - 10}{10} = 99$$ फिर $$e^{-0.5\cdot 5} = e^{-2.5} \approx 0.082085$$ हर $$= 1 + 99\cdot 0.082085 \approx 9.1264$$ इसलिए $$P(5) = \frac{1000}{9.1264} \approx 109.57$$ यानी 5 इकाई समय में जनसंख्या 10 से बढ़कर लगभग 110 हो गई।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर r ऋणात्मक हो तो क्या होगा? ऋणात्मक \(r\) वृद्धि के बजाय शून्य की ओर गिरावट (decline) को दर्शाता है, न कि K की ओर बढ़ोतरी।

मोड़-बिंदु (inflection point) क्या है? वृद्धि सबसे तेज़ तब होती है जब \(P = K/2\) होता है; इससे पहले वक्र तेज़ होता जाता है और इसके बाद धीमा पड़ने लगता है।

क्या P, K से अधिक हो सकता है? अगर आरंभिक जनसंख्या K से ऊपर शुरू होती है (overshoot), तो मॉडल ऐसे मान देता है जो समय के साथ घटकर K की ओर लौट आते हैं।