À quoi sert ce calculateur
Un cercle écrit sous sa forme générale \(x^{2}+y^{2}+\text{D}\,x+\text{E}\,y+\text{F}=0\) ne laisse pas apparaître directement son centre ni son rayon. Ce calculateur s'appuie sur la technique algébrique de la complétion du carré pour réécrire l'équation sous sa forme canonique \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\), ce qui dévoile en un coup d'œil le centre \((h, k)\) et le rayon \(r\).
Comment l'utiliser
Relevez les trois coefficients directement dans votre équation : \(\text{D}\) est le nombre qui multiplie \(x\), \(\text{E}\) celui qui multiplie \(y\) et \(\text{F}\) le terme constant. Saisissez chaque valeur (sans oublier son signe) et le calculateur affiche les coordonnées du centre ainsi que le rayon. Une valeur de \(r^{2}\) négative signifie que l'équation ne correspond à aucun cercle réel (les points sont imaginaires).
La formule expliquée
La complétion du carré consiste à regrouper les termes en \(x\) et les termes en \(y\) : \((x^{2}+\text{D}\,x)+(y^{2}+\text{E}\,y)=-\text{F}\). En ajoutant \(\left(\dfrac{\text{D}}{2}\right)^{2}\) et \(\left(\dfrac{\text{E}}{2}\right)^{2}\) aux deux membres, on forme des carrés parfaits, ce qui donne $$\left(x+\frac{\text{D}}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{\text{E}}{2}\right)^{2}=\frac{\text{D}^{2}}{4}+\frac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}.$$ La comparaison avec la forme canonique montre que le centre est \(\left(-\dfrac{\text{D}}{2}, -\dfrac{\text{E}}{2}\right)\) et que le rayon correspond à la racine carrée du membre de droite.
Exemple résolu
Prenons \(x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\), d'où \(\text{D}=-6\), \(\text{E}=8\), \(\text{F}=9\). L'abscisse du centre vaut \(-\dfrac{-6}{2}=3\) et l'ordonnée \(-\dfrac{8}{2}=-4\), soit le centre \((3, -4)\). Ensuite $$r^{2}=\frac{36}{4}+\frac{64}{4}-9=9+16-9=16,$$ donc \(r=\sqrt{16}=4\). La forme canonique est $$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=16.$$
FAQ
Que se passe-t-il si \(r^{2}\) est négatif ? L'équation ne décrit aucun cercle réel : aucun point à coordonnées réelles ne la vérifie.
Et si \(r^{2}\) est égal à zéro ? Le « cercle » se réduit à un point unique situé au centre : on parle de cercle dégénéré ou de cercle ponctuel.
Cela fonctionne-t-il si les coefficients de \(x^{2}\) et \(y^{2}\) ne valent pas 1 ? Divisez d'abord toute l'équation par ce coefficient commun pour que les deux termes au carré aient un coefficient égal à 1, puis saisissez \(\text{D}\), \(\text{E}\) et \(\text{F}\).
