用配方法求圆的圆心与半径

输入计算

D（x 的系数）

E（y 的系数）

F（常数项）

请输入 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 中的各项系数

结果

圆心

(3, -4)

Radius r = 4

圆心横坐标 x = −D/2	3
圆心纵坐标 y = −E/2	-4
r² 的值	16
半径 r	4

这个计算器能做什么

当圆写成一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 时，圆心和半径并不直观。本计算器运用代数中的配方法，把方程改写成标准式 (x − h)² + (y − k)² = r²，让你一眼就能看出圆心 (h, k) 和半径 r。

使用方法

直接从方程中读出三个系数：D 是 x 项的系数，E 是 y 项的系数，F 是常数项。连同正负号一起填入各项数值，计算器即可返回圆心坐标和半径。若 r² 为负值，说明该方程没有对应的实圆（其点为虚点）。

公式推导

配方法先把 x 项和 y 项分别归组：(x² + Dx) + (y² + Ey) = −F。在等式两边各加上 (D/2)² 和 (E/2)²，便能凑成完全平方，得到 (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F。与标准式对照可知，圆心为 (−D/2, −E/2)，半径则是右边式子的算术平方根。

标准形式的圆，圆心为 (−D/2, −E/2)，半径为 r。

例题演示

以 x² + y² − 6x + 8y + 9 = 0 为例，则 D = −6，E = 8，F = 9。圆心横坐标 x = −(−6)/2 = 3，纵坐标 y = −8/2 = −4，所以圆心为 (3, −4)。再算 r² = 36/4 + 64/4 − 9 = 9 + 16 − 9 = 16，故 r = √16 = 4。化成标准式即为 (x − 3)² + (y + 4)² = 16。

配方法将 Dx 和 Ey 项转化为完全平方二项式。

常见问题

r² 为负数怎么办？此时方程不表示任何实圆——没有任何实数点能满足它。

r² 等于零又是什么情况？这时“圆”退化成圆心处的一个点，称为退化圆或点圆。

如果 x² 和 y² 的系数不是 1，还能用吗？先用这个公共系数除以整个方程，使两个平方项的系数都变为 1，再填入 D、E、F 即可。