Bu Hesaplayıcı Ne İşe Yarar?
\(x^{2}+y^{2}+\text{D}\,x+\text{E}\,y+\text{F}=0\) biçimindeki genel formda yazılmış bir çember, merkezini ve yarıçapını gizler. Bu hesaplayıcı, kareye tamamlama adı verilen cebirsel yöntemi kullanarak denklemi standart forma \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\) dönüştürür ve merkez \((h, k)\) ile yarıçap \(r\) değerlerini bir bakışta ortaya çıkarır.
Nasıl Kullanılır?
Üç katsayıyı doğrudan denkleminizden okuyun: \(\text{D}\), \(x\)'i çarpan sayıdır; \(\text{E}\), \(y\)'yi çarpan sayıdır; \(\text{F}\) ise sabit terimdir. Her değeri (işaretiyle birlikte) girin; hesaplayıcı size merkez koordinatlarını ve yarıçapı versin. \(r^{2}\) değerinin negatif çıkması, denklemin gerçek bir çember tanımlamadığı anlamına gelir (noktalar sanaldır).
Formülün Açıklaması
Kareye tamamlama, \(x\)'li ve \(y\)'li terimleri gruplar: \((x^{2}+\text{D}\,x)+(y^{2}+\text{E}\,y)=-\text{F}\). Her iki tarafa \((\text{D}/2)^{2}\) ve \((\text{E}/2)^{2}\) eklendiğinde tam kareler oluşur ve $$\left(x+\frac{\text{D}}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{\text{E}}{2}\right)^{2}=\frac{\text{D}^{2}}{4}+\frac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}$$ elde edilir. Bunu standart formla karşılaştırdığımızda merkezin \((-\text{D}/2,\ -\text{E}/2)\) ve yarıçapın sağ tarafın karekökü olduğu görülür.
$$x^{2}+y^{2}+\text{D}\,x+\text{E}\,y+\text{F}=0 \;\Longrightarrow\; (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{\text{D}}{2} \\ k &= -\dfrac{\text{E}}{2} \\ r &= \sqrt{\dfrac{\text{D}^{2}}{4}+\dfrac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}} \end{aligned} \right.$$
Çözümlü Örnek
\(x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\) denklemini ele alalım; burada \(\text{D}=-6\), \(\text{E}=8\), \(\text{F}=9\). Merkezin \(x\) değeri \(-(-6)/2=3\), merkezin \(y\) değeri ise \(-8/2=-4\) olur; yani merkez \((3,\ -4)\). Ardından $$r^{2}=\frac{36}{4}+\frac{64}{4}-9=9+16-9=16,$$ dolayısıyla \(r=\sqrt{16}=4\). Standart form $$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=16$$ şeklindedir.
Sıkça Sorulan Sorular
\(r^{2}\) negatif çıkarsa ne olur? Denklem gerçek bir çember tanımlamaz; onu sağlayan hiçbir gerçek nokta kümesi yoktur.
\(r^{2}\) sıfıra eşitse ne olur? "Çember", merkezdeki tek bir noktaya çöker; buna bozulmuş çember veya nokta çember denir.
\(x^{2}\) ve \(y^{2}\)'nin katsayıları 1 değilse bu yöntem işe yarar mı? Önce tüm denklemi bu ortak katsayıya bölün; böylece her iki karesel terimin katsayısı 1 olur, ardından \(\text{D}\), \(\text{E}\) ve \(\text{F}\) değerlerini girin.
