Найдите центр и радиус окружности методом выделения полного квадрата

Введите расчет

D (коэффициент при x)

E (коэффициент при y)

F (свободный член)

Введите коэффициенты из уравнения x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Результатов

Центр окружности

(3, -4)

Radius r = 4

Центр x = −D/2	3
Центр y = −E/2	-4
Значение r²	16
Радиус r	4

Что делает этот калькулятор

Когда окружность задана в общем виде уравнением \(x^{2}+y^{2}+\text{D}\,x+\text{E}\,y+\text{F}=0\), её центр и радиус не видны сразу. Этот калькулятор использует алгебраический приём выделения полного квадрата, чтобы переписать уравнение в каноническом виде \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\). В таком виде центр \((h, k)\) и радиус \(r\) видны с первого взгляда.

Как пользоваться

Считайте три коэффициента прямо из своего уравнения: \(\text{D}\) — это число при \(x\), \(\text{E}\) — число при \(y\), а \(\text{F}\) — свободный член. Введите каждое значение вместе со знаком, и калькулятор выдаст координаты центра и радиус. Отрицательное значение \(r^{2}\) означает, что вещественной окружности не существует — её точки мнимые.

Разбор формулы

При выделении полного квадрата члены с \(x\) и члены с \(y\) группируются отдельно: \((x^{2}+\text{D}\,x)+(y^{2}+\text{E}\,y)=-\text{F}\). Прибавив к обеим частям \((\text{D}/2)^{2}\) и \((\text{E}/2)^{2}\), мы получаем полные квадраты:

$$\left(x+\frac{\text{D}}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{\text{E}}{2}\right)^{2}=\frac{\text{D}^{2}}{4}+\frac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}$$

Сравнивая с каноническим видом, видим, что центр равен \(\left(-\dfrac{\text{D}}{2}, -\dfrac{\text{E}}{2}\right)\), а радиус — это квадратный корень из правой части.

Окружность в стандартной форме с центром (−D/2, −E/2) и радиусом r.

Разбор примера

Возьмём уравнение \(x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\), то есть \(\text{D}=-6\), \(\text{E}=8\), \(\text{F}=9\). Координата центра по \(x\): \(-\dfrac{-6}{2}=3\), по \(y\): \(-\dfrac{8}{2}=-4\), значит центр находится в точке \((3, -4)\). Далее

$$r^{2}=\frac{36}{4}+\frac{64}{4}-9=9+16-9=16$$

поэтому \(r=\sqrt{16}=4\). Каноническое уравнение:

$$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=16$$

Выделение полного квадрата превращает члены Dx и Ey в полные квадраты двучленов.

Частые вопросы

Что если \(r^{2}\) отрицательно? Тогда уравнение не задаёт никакой вещественной окружности — нет ни одной реальной точки, которая ему удовлетворяет.

Что если \(r^{2}\) равно нулю? «Окружность» вырождается в одну-единственную точку — центр. Такую фигуру называют вырожденной, или точечной окружностью.

Сработает ли метод, если коэффициенты при \(x^{2}\) и \(y^{2}\) не равны 1? Сначала разделите всё уравнение на этот общий коэффициент, чтобы при обоих квадратах стояла единица, а затем уже вводите значения \(\text{D}\), \(\text{E}\) и \(\text{F}\).