用配方法求圓心與半徑

輸入計算

D（x 的係數）

E（y 的係數）

F（常數項）

請輸入 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 中的各項係數

結果

圓心

(3, -4)

Radius r = 4

圓心 x = −D/2	3
圓心 y = −E/2	-4
r² 數值	16
半徑 r	4

這個計算器的功能

當圓以一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 表示時，圓心與半徑並不會直接顯現出來。本計算器運用配方法這項代數技巧，把方程式改寫成標準式 (x − h)² + (y − k)² = r²，讓你一眼就能看出圓心 (h, k) 與半徑 r。

使用方式

直接從方程式中讀出三個係數：D 是 x 前面的係數、E 是 y 前面的係數、F 是常數項。把每個數值（連同正負號一起）輸入，計算器就會回傳圓心座標與半徑。如果算出的 r² 為負值，代表這個方程式沒有對應的實圓（那些點為虛數）。

公式說明

配方法會先將 x 項與 y 項分別分組：(x² + Dx) + (y² + Ey) = −F。接著在等號兩邊各加上 (D/2)² 與 (E/2)²，湊成完全平方，得到 (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F。對照標準式即可看出圓心為 (−D/2, −E/2)，半徑則是等號右邊數值的平方根。

標準形式的圓，圓心為 (−D/2, −E/2)，半徑為 r。

範例演算

以 x² + y² − 6x + 8y + 9 = 0 為例，可知 D = −6、E = 8、F = 9。圓心 x = −(−6)/2 = 3，圓心 y = −8/2 = −4，因此圓心為 (3, −4)。接著 r² = 36/4 + 64/4 − 9 = 9 + 16 − 9 = 16，所以 r = √16 = 4。標準式即為 (x − 3)² + (y + 4)² = 16。

配方法將 Dx 和 Ey 項轉化為完全平方二項式。

常見問題

如果 r² 是負值怎麼辦？表示這個方程式不對應任何實圓，沒有任何實數點能滿足它。

如果 r² 等於零呢？此時「圓」會縮成圓心位置上的單一個點，稱為退化圓或點圓。

如果 x² 與 y² 的係數不是 1，這個方法還適用嗎？請先將整個方程式除以那個共同係數，讓兩個平方項的係數都變成 1，再輸入 D、E、F 即可。