Sigma 加總符號 (Σ) 求值計算機

輸入計算

函數 f(i) 請以 i 作為索引。支援：+ - * / ^、括號，以及函數 sqrt、sin、cos、log、abs。

下限 (a)

上限 (b)

結果

級數總和

55

加總的數值

項數	5
第一項 f(a)	1
最後一項 f(b)	25

什麼是 Sigma 加總符號計算機？

Sigma 符號（Σ）是一種把許多項加總起來的簡潔寫法。「Σ 從 i=a 到 b 的 f(i)」表示：把每一個從下限 a 到上限 b 的整數 i 代入函數 f(i)，再把所有結果相加。這個計算機會逐項計算總和，讓你能檢查作業、驗證封閉式公式（closed-form），或快速加總任何帶索引的級數。

使用方法

在函數欄位中輸入以索引 i 為變數的算式，例如 i^2、2*i+1 或 1/i。設定下限 a 與上限 b（兩者皆為整數）。計算機會逐一代入從 a 到 b 的每個整數，計算 f(i)，並回報總和、項數，以及第一項與最後一項。支援的運算子有 + - * / 與 ^（次方），另外還有函數 sqrt、sin、cos、tan、log、ln、abs、exp，以及常數 pi 和 e。

公式解析

希臘大寫字母 sigma 代表「總和」。它的下方是索引變數與起始值（i = a）；上方則是結束值（b）。右側的算式就是套用在每個索引上的規則。

$$\sum_{i=a}^{b} f(i)$$

因此「Σ 從 i=1 到 4 的 i^2」展開後就是 \(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2\)。

求和符號的結構：索引從下限 a 開始，到上限 b 結束，逐項相加 f(i)。

範例演算

計算 Σ 從 i=1 到 5 的 i²。把每個索引代入：

$$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$$

用封閉式公式驗算：\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{5\cdot 6\cdot 11}{6} = 55\)，結果完全一致。

每一項 f(i) 貢獻一個值，計算機將它們相加得出總和。

常見問題

應該使用哪個變數？請固定使用字母 i 作為索引，這是解析器唯一會代入的變數。

下限可以大於上限嗎？如果 a 大於 b，就沒有任何項可加，因此總和定義為 0（空和，empty sum）。

能處理小數與負數結果嗎？可以。每一項都可以是負數或分數（例如 1/i），最終總和也會以完整精度顯示。