圓內接正方形計算機

輸入計算

圓半徑（r）

結果

最大內接正方形邊長

7.07

單位（s = r√2）

正方形對角線（＝圓直徑）	10
正方形面積	50
正方形周長	28.28
填充率（正方形面積 / 圓面積）	63.66%

圓內接正方形計算機是什麼？

這個工具能幫你找出在圓內可以畫出的最大正方形（也就是內接正方形）。要讓正方形達到最大，四個頂點都必須剛好接觸到圓周，這代表正方形的對角線恰好等於圓的直徑。只要輸入一個數值——圓的半徑，計算機就會算出正方形的邊長、對角線、面積、周長，以及正方形佔據圓面積的比例。

圓內接正方形：其對角線等於圓的直徑。

使用方法

輸入圓的半徑（\(r\)），單位可任選（公分、英吋、公尺皆可——答案會以相同單位呈現）。點擊計算，即可看到內接正方形的各項尺寸。無論是設計排版、木工製作、CNC 切割、貼磚鋪面，還是幾何作業，都能派上用場。

公式說明

由於正方形的對角線等於圓的直徑，因此對角線為 \(d = 2r\)。邊長為 \(s\) 的正方形，其對角線為 \(s\sqrt{2}\)，所以令 \(s\sqrt{2} = 2r\)，即可求得邊長：

$$s = r\sqrt{2}$$面積則為 $$A = s^2 = 2r^2$$周長為 \(P = 4s\)。填充率是將正方形面積與圓面積（\(\pi r^2\)）相比：\(2r^2 / (\pi r^2) = 2/\pi \approx 63.66\%\)。

對角線 \(d\)、邊長 \(s\) 與直角的關係為 \(s = d/\sqrt{2} = r\sqrt{2}\)。

範例演算

假設 \(r = 5\)。邊長為 $$s = 5 \times \sqrt{2} \approx 7.07$$對角線為 \(2 \times 5 = 10\)（即直徑）。面積為 \(2 \times 5^2 = 50\)。周長為 \(4 \times 7.07 \approx 28.28\)。這個正方形大約覆蓋了圓面積的 \(63.66\%\)。

常見問題

為什麼對角線等於直徑？最大的內接正方形，四個頂點都落在圓周上，因此連接對角兩頂點的直線會通過圓心——而這條線正是直徑。

正方形覆蓋圓的比例是多少？無論半徑大小，永遠都是 \(2/\pi \approx 63.66\%\)。

可以從邊長反推回去嗎？可以：若已知邊長 \(s\)，半徑就是 \(r = s / \sqrt{2}\)，而圓的直徑即為正方形的對角線 \(s\sqrt{2}\)。