三角形面積計算機（SAS 兩邊夾角）

輸入計算

邊長 a

邊長 b

夾角 C（度）

結果

三角形面積

15.1554

平方單位

邊長 a	5
邊長 b	7
夾角 C	60°
公式	Area = ½ · a · b · sin(C)

什麼是 SAS 兩邊夾角三角形面積計算機？

只要知道三角形的兩個邊長以及這兩邊之間的夾角，這個工具就能算出任意三角形的面積，也就是幾何學中常見的「邊角邊（Side-Angle-Side，簡稱 SAS）」情形。這是一條通用公式，不論三角形長什麼形狀都適用，而且不必先求出三角形的高就能直接算出面積。

使用方法

先輸入兩個邊長 a 與 b，再輸入兩邊相交所形成的夾角 C（以度為單位）。計算結果會以與邊長相同的平方單位呈現（例如邊長以公分計，面積即為平方公分 cm²）。

公式說明

面積等於兩邊長相乘，再乘以夾角的正弦值，最後取一半：

$$\text{面積} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)$$

其中的正弦項，等於把其中一邊投影到對應的垂直高度上。由於正弦值在 90° 時達到最大，因此當兩邊互相垂直（即夾角為直角）時，這組邊長所能構成的面積也最大。

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邊角邊（SAS）情形：兩條已知邊 a 和 b 及其夾角 C。

實際範例

假設 \(a = 5\)、\(b = 7\)、\(C = 60°\)，則 \(\sin(60°) \approx 0.866025\)。

$$\text{面積} = 0.5 \times 5 \times 7 \times 0.866025 = 17.5 \times 0.866025 \approx 15.155$$

平方單位。

公式為何成立：高等於 \(a \cdot \sin(C)\)，於是 \(\text{面積} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (a \cdot \sin C)\)。

常見問題

角度一定要用「度」嗎？是的，請以度（degrees）輸入 C，計算機會在內部自動換算成弧度（radians）。

如果我只知道三個邊長怎麼辦？那就改用海龍公式（Heron's formula）。本計算機需要的是「兩個邊長加上它們的夾角」這組資訊。

夾角可以是 90° 嗎？可以。當夾角為 90° 時，公式會簡化為 \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b\)，正是我們熟悉的直角三角形面積公式。