什麼是 ASA 三角形？
ASA（角邊角，Angle-Side-Angle）三角形是由兩個角，以及夾在這兩個角之間的那條邊（即夾邊）所決定的。由於任何三角形的三個內角和都是 180°，因此只要知道其中兩個角，第三個角自然就能算出來。當三個角與一條邊都已知時，正弦定理就能唯一確定剩下的兩條邊——所以 ASA 三角形必定只有一組解。
如何使用這個計算機
請依序輸入角 A、夾邊 c 與角 B。角 A 和角 B 是位於邊 c 兩端的兩個角。計算機會回傳第三個角 C、邊 a 與邊 b 的長度，以及周長和面積。所有角度皆以「度」為單位。
公式說明
首先用 \(C = 180^{\circ} - A - B\) 求出第三個角。接著將正弦定理 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\) 整理後求出未知邊： $$a = c\,\frac{\sin A}{\sin C}, \qquad b = c\,\frac{\sin B}{\sin C}$$ 面積則用 \(\text{面積} = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C\) 計算。
實際範例
假設 \(A = 40^{\circ}\)、\(B = 60^{\circ}\)，且夾邊 \(c = 10\)。那麼 \(C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ}\)。套用正弦定理： $$a = 10\cdot\frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 10\cdot\frac{0.6428}{0.9848} \approx 6.527$$ $$b = 10\cdot\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 10\cdot\frac{0.8660}{0.9848} \approx 8.794$$ 周長約為 \(25.32\)，面積 \(\approx \tfrac{1}{2}\cdot 6.527\cdot 8.794\cdot 0.9848 \approx 28.26\)。
關鍵術語與變數
| 術語 | 計算器欄位 / 符號 | 定義 |
|---|---|---|
| ASA三角形 | — | 由兩個角及其夾邊指定的三角形（角–邊–角）。這組資料總是確定一個唯一的三角形。 |
| 角A | angleA (\(A\)) |
第一個已知的內角，以度數表示。它位於邊 \(a\) 的對面。 |
| 角B | angleB (\(B\)) |
第二個已知的內角，以度數表示。它位於邊 \(b\) 的對面。 |
| 夾邊c | sideC (\(c\)) |
連接角A和角B的邊——兩個已知角之間的「邊」。它位於計算得出的角 \(C\) 的對面。 |
| 角C | \(C\) | 第三個角，使用角和規則 \(C = 180^\circ - A - B\) 求得。 |
| 對邊 | \(a, b, c\) | 某個角所對的邊。按慣例，邊 \(a\) 對應角 \(A\)，邊 \(b\) 對應角 \(B\)，邊 \(c\) 對應角 \(C\)。 |
| 正弦定律 | — | 關係式 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\)，在已知三個角後用於求解未知邊。 |
| 周長 | \(P\) | 三角形周圍的總距離，\(P = a + b + c\)。 |
| 面積 | — | 封閉區域，計算公式為 \(\text{面積} = \tfrac12\,a\,b\,\sin C\)（可使用任意一個角與其相鄰的兩條邊）。 |
常見問題
ASA 一定只有唯一解嗎？是的。與 SSA 不同，ASA 的條件絕不會產生模稜兩可的情況——兩個角決定了三角形的形狀，那條邊則決定了它的大小。
如果 A + B ≥ 180° 會怎樣？那就不存在有效的三角形，因為第三個角會變成零或負數。請務必確認 \(A + B\) 小於 \(180^{\circ}\)。
哪一條才是夾邊？夾邊 c 就是連接角 A 與角 B 兩個頂點的那條邊。
