Что такое треугольник ASA?
Треугольник ASA (угол-сторона-угол, по-русски часто УСУ) задаётся двумя углами и стороной, лежащей между ними (так называемой прилежащей стороной). Поскольку сумма всех трёх углов любого треугольника равна 180°, зная два угла, мы сразу находим третий. А когда известны все три угла и одна сторона, теорема синусов однозначно определяет две оставшиеся стороны — поэтому у треугольника ASA всегда есть ровно одно решение.
Как пользоваться калькулятором
Введите угол A, прилежащую сторону c и угол B. Углы A и B расположены на концах стороны c. Калькулятор вычислит третий угол C, длины сторон a и b, периметр и площадь. Все углы указываются в градусах.
Разбор формулы
Сначала находим третий угол: $$C = 180^{\circ} - A - B$$ Затем применяем теорему синусов $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ и выражаем неизвестные стороны: $$a = c\,\frac{\sin A}{\sin C}, \qquad b = c\,\frac{\sin B}{\sin C}$$ Площадь вычисляется по формуле $$S = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C$$
Пример с решением
Пусть \(A = 40^{\circ}\), \(B = 60^{\circ}\), а прилежащая сторона \(c = 10\). Тогда $$C = 180 - 40 - 60 = 80^{\circ}$$ По теореме синусов: $$a = 10\cdot\frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 10\cdot\frac{0{,}6428}{0{,}9848} \approx 6{,}527$$ а $$b = 10\cdot\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 10\cdot\frac{0{,}8660}{0{,}9848} \approx 8{,}794$$ Периметр составит примерно \(25{,}32\), а площадь $$\approx \tfrac{1}{2}\cdot 6{,}527\cdot 8{,}794\cdot 0{,}9848 \approx 28{,}26$$
Частые вопросы
Всегда ли ASA даёт единственное решение? Да. В отличие от случая SSA (две стороны и угол, не лежащий между ними), конфигурация ASA никогда не бывает неоднозначной: углы определяют форму, а сторона задаёт масштаб.
Что если A + B ≥ 180°? Тогда треугольник не существует, ведь третий угол окажется нулевым или отрицательным. Убедитесь, что сумма \(A + B\) меньше 180°.
Какая сторона считается прилежащей? Прилежащая сторона c — это та, что соединяет вершины углов A и B.
Основные термины и переменные
| Термин | Поле калькулятора / символ | Определение |
|---|---|---|
| Треугольник ASA | — | Треугольник, определяемый двумя углами и стороной между ними (Угол–Сторона–Угол). Эти данные всегда определяют единственный треугольник. |
| Угол A | angleA (\(A\)) |
Первый известный внутренний угол в градусах. Он лежит напротив стороны \(a\). |
| Угол B | angleB (\(B\)) |
Второй известный внутренний угол в градусах. Он лежит напротив стороны \(b\). |
| Прилежащая сторона c | sideC (\(c\)) |
Сторона, соединяющая углы A и B — «S» между двумя известными углами. Она лежит напротив вычисленного угла \(C\). |
| Угол C | \(C\) | Третий угол, найденный по правилу суммы углов \(C = 180^\circ - A - B\). |
| Противоположная сторона | \(a, b, c\) | Сторона, находящаяся напротив данного угла. По соглашению сторона \(a\) находится напротив \(A\), сторона \(b\) напротив \(B\) и сторона \(c\) напротив \(C\). |
| Теорема синусов | — | Соотношение \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\), используемое для нахождения неизвестных сторон, когда все три угла известны. |
| Периметр | \(P\) | Общее расстояние вокруг треугольника, \(P = a + b + c\). |
| Площадь | — | Заключённая область, вычисляемая как \(\text{Площадь} = \tfrac12\,a\,b\,\sin C\) (можно использовать любой угол и две смежные с ним стороны). |
