ما هو مثلث ASA؟
مثلث ASA (زاوية-ضلع-زاوية) هو مثلث تُعرف فيه زاويتان والضلع الواقع بينهما، أي الضلع المحصور. وبما أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180°، فإن معرفة زاويتين تكشف الزاوية الثالثة فورًا. وبمعرفة الزوايا الثلاث وأحد الأضلاع، يحدّد قانون الجيوب الضلعين المتبقيين بشكل وحيد لا لبس فيه — لذلك يكون لمثلث ASA دائمًا حلّ واحد فقط.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الزاوية A، ثم الضلع المحصور c، ثم الزاوية B. الزاويتان A وB هما الزاويتان الواقعتان عند طرفي الضلع c. تعرض لك الحاسبة الزاوية الثالثة C، وطولي الضلعين a وb، والمحيط، والمساحة. وتُقاس جميع الزوايا بالدرجات.
شرح القانون
أولًا نوجد الزاوية الثالثة عبر العلاقة \(C = 180^{\circ} - A - B\). ثم نستخدم قانون الجيوب \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\) ونعيد ترتيبه لإيجاد الضلعين المجهولين:
$$a = c\,\frac{\sin A}{\sin C}, \qquad b = c\,\frac{\sin B}{\sin C}$$أما المساحة فتُحسب بالعلاقة \(\text{المساحة} = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C\).
مثال محلول
لنفترض أن A = 40°، وB = 60°، والضلع المحصور c = 10. عندئذٍ تكون \(C = 180 - 40 - 60 = 80^{\circ}\). وبتطبيق قانون الجيوب:
$$a = 10\cdot\frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 10\cdot\frac{0.6428}{0.9848} \approx 6.527$$$$b = 10\cdot\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 10\cdot\frac{0.8660}{0.9848} \approx 8.794$$فيكون المحيط نحو 25.32، والمساحة \(\approx \tfrac{1}{2}\cdot 6.527\cdot 8.794\cdot 0.9848 \approx 28.26\).
المصطلحات الرئيسية والمتغيرات
| المصطلح | حقل الآلة الحاسبة / الرمز | التعريف |
|---|---|---|
| مثلث ASA | — | مثلث محدد بزاويتين والضلع بينهما (زاوية–ضلع–زاوية). يحدد هذا البيان دائماً مثلثاً فريداً. |
| الزاوية A | angleA (\(A\)) |
الزاوية الداخلية الأولى المعروفة، بالدرجات. تقع مقابل الضلع \(a\). |
| الزاوية B | angleB (\(B\)) |
الزاوية الداخلية الثانية المعروفة، بالدرجات. تقع مقابل الضلع \(b\). |
| الضلع المشترك c | sideC (\(c\)) |
الضلع الذي يربط الزاويتين A و B — "الضلع" بين الزاويتين المعروفتين. يقع مقابل الزاوية المحسوبة \(C\). |
| الزاوية C | \(C\) | الزاوية الثالثة، التي يتم إيجادها من قاعدة مجموع الزوايا \(C = 180^\circ - A - B\). |
| الضلع المقابل | \(a, b, c\) | الضلع المواجه لزاوية معينة. بالاصطلاح، الضلع \(a\) يقابل \(A\)، والضلع \(b\) يقابل \(B\)، والضلع \(c\) يقابل \(C\). |
| قانون الجيب | — | العلاقة \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\)، المستخدمة لحل الأضلاع المجهولة بمجرد معرفة الزوايا الثلاث. |
| المحيط | \(P\) | المسافة الكلية حول المثلث، \(P = a + b + c\). |
| المساحة | — | المنطقة المحاطة، محسوبة بـ \(\text{المساحة} = \tfrac12\,a\,b\,\sin C\) (أي زاوية مع ضلعيها المجاورين قد تُستخدم). |
الأسئلة الشائعة
هل يملك مثلث ASA دائمًا حلًّا وحيدًا؟ نعم. فعلى عكس حالة SSA، لا تحمل تكوينة ASA أي غموض أبدًا — إذ تحدّد الزاويتان شكل المثلث، ويحدّد الضلع حجمه.
ماذا لو كان \(A + B \geq 180^{\circ}\)؟ عندئذٍ لا يوجد مثلث صحيح، لأن الزاوية الثالثة ستكون صفرًا أو سالبة. تأكد من أن مجموع \(A + B\) أصغر من 180°.
أيّ ضلع هو الضلع المحصور؟ الضلع المحصور c هو الضلع الذي يصل بين رأسي الزاويتين A وB.
