陰影面積計算機（正方形內接圓）

輸入計算

正方形邊長 (s)

結果

陰影面積

21.46

平方單位

正方形面積 (s²)	100
內接圓面積	78.54

什麼是陰影面積？

這是一道經典的幾何題：在正方形裡畫一個圓，且圓剛好碰到四個邊（也就是內接圓）。所謂陰影區域，指的就是圓沒有蓋到、留在四個角落的部分。只要輸入正方形的邊長，這個計算機就能算出這塊角落面積。

陰影區域是正方形面積減去內切圓的部分。

如何使用

輸入正方形的邊長 s。能塞進正方形的最大圓，其直徑剛好等於邊長，因此半徑為 \(s/2\)。計算機會分別算出正方形面積、內接圓面積，再相減，得到四個角落的陰影面積。

公式解析

正方形面積為 \(s^2\)。內接圓的半徑 \(r = s/2\)，所以圓面積為 \(\pi \left(\frac{s}{2}\right)^2\)。因此陰影面積為：

$$A = s^2 - \pi \left(\frac{s}{2}\right)^2$$

這個式子也可以寫成 \(A = s^2(1 - \pi/4) \approx 0.2146 \times s^2\)，意思是不論正方形多大，四個角落永遠約佔整個正方形的 21.46%。

內切圓的半徑等於邊長的一半，\(r = s/2\)。

實際範例

假設正方形邊長為 10 單位。正方形面積為 \(10^2 = 100\)；圓半徑為 5，圓面積為 \(\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.54\)。陰影面積就是 \(100 - 78.54 = 21.46\) 平方單位。

常見問題

圓一定要是內接圓嗎？是的——這個公式假設圓的直徑等於正方形的邊長，這也是課本中最常見的設定。

陰影佔正方形的百分比是多少？不論邊長多長，永遠約為 21.46%（\(1 - \pi/4\)）。

計算結果的單位是什麼？結果以你輸入邊長所用單位的平方表示（公分用 cm²、英吋用 in²，依此類推）。