छायांकित क्षेत्रफल क्या होता है?
ज्यामिति का एक जाना-पहचाना सवाल है — एक वर्ग के अंदर इस तरह वृत्त बनाया जाता है कि वह चारों भुजाओं को छूता हो (यानी एक अंतर्निहित वृत्त)। ऐसे में वर्ग के चारों कोनों में जो हिस्सा बच जाता है, वही छायांकित क्षेत्र कहलाता है — यानी वर्ग का वह भाग जिसे वृत्त ढक नहीं पाता। यह कैलकुलेटर किसी भी भुजा वाले वर्ग के लिए यह क्षेत्रफल झट से निकाल देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
वर्ग की भुजा s दर्ज करें। अंदर समाने वाला सबसे बड़ा वृत्त वही होगा जिसका व्यास भुजा के बराबर हो, इसलिए उसकी त्रिज्या \(s/2\) होती है। यह टूल वर्ग का क्षेत्रफल और अंतर्निहित वृत्त का क्षेत्रफल निकालकर, दोनों का अंतर करके छायांकित कोनों का क्षेत्रफल बता देता है।
सूत्र की समझ
वर्ग का क्षेत्रफल \(s^2\) होता है। अंतर्निहित वृत्त की त्रिज्या \(r = s/2\) है, इसलिए उसका क्षेत्रफल \(\pi \left(\frac{s}{2}\right)^2\) होगा। इस प्रकार छायांकित क्षेत्रफल होगा:
$$A = s^2 - \pi \left(\frac{s}{2}\right)^2$$
इसे यूं भी लिख सकते हैं: \(A = s^2\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) \approx 0.2146 \times s^2\)। इसका मतलब है कि वर्ग का आकार चाहे कुछ भी हो, चारों कोने हमेशा कुल वर्ग का लगभग 21.46% हिस्सा बनाते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए वर्ग की भुजा 10 इकाई है। तब वर्ग का क्षेत्रफल = \(10^2 = 100\) होगा। वृत्त की त्रिज्या 5 है, इसलिए वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.54\) होगा। इस तरह छायांकित क्षेत्र = \(100 - 78.54 = 21.46\) 21.46 वर्ग इकाई रहेगा।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या वृत्त का अंतर्निहित होना ज़रूरी है? हां — यह सूत्र इसी मान्यता पर आधारित है कि वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर है, जो पाठ्यपुस्तकों में सबसे आम स्थिति है।
वर्ग का कितना प्रतिशत हिस्सा छायांकित रहता है? भुजा कितनी भी हो, यह हमेशा लगभग 21.46% \((1 - \pi/4)\) ही रहता है।
इसमें कौन-सी इकाई इस्तेमाल होती है? परिणाम उसी इकाई के वर्ग में आता है जो आपने भुजा के लिए डाली है (सेमी के लिए सेमी², इंच के लिए इंच², वगैरह)।
