¿Qué es el área de la región sombreada?
Un problema clásico de geometría muestra un cuadrado con un círculo dibujado en su interior, de modo que el círculo toca los cuatro lados (un círculo inscrito). La región sombreada son las cuatro esquinas que sobran, es decir, la parte del cuadrado que el círculo no cubre. Esta calculadora obtiene esa superficie para cualquier longitud del lado del cuadrado.
Cómo usarla
Introduce la longitud del lado s del cuadrado. El círculo más grande que cabe dentro tiene un diámetro igual al lado, así que su radio es \(s/2\). La herramienta calcula el área del cuadrado, el área del círculo inscrito y las resta para darte las cuatro esquinas sombreadas.
La fórmula explicada
El área del cuadrado es \(s^2\). El círculo inscrito tiene un radio \(r = s/2\), por lo que su área es \(\pi \left(\frac{s}{2}\right)^2\). El área sombreada queda, entonces, así:
$$A = s^2 - \pi \left(\frac{s}{2}\right)^2$$
También puede escribirse como \(A = s^2\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) \approx 0{,}2146 \times s^2\), lo que significa que las cuatro esquinas siempre representan alrededor del 21,46 % del cuadrado, sea cual sea su tamaño.
Ejemplo resuelto
Imagina que el lado del cuadrado mide 10 unidades. El área del cuadrado es \(10^2 = 100\). El radio del círculo es 5, así que su área es \(\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78{,}54\). La región sombreada es \(100 - 78{,}54 = \mathbf{21{,}46}\) unidades cuadradas.
Preguntas frecuentes
¿El círculo tiene que estar inscrito? Sí: esta fórmula da por sentado que el diámetro del círculo coincide con el lado del cuadrado, que es el caso más habitual en los libros de texto.
¿Qué porcentaje del cuadrado queda sombreado? Siempre en torno al 21,46 % \((1 - \frac{\pi}{4})\), independientemente de la longitud del lado.
¿Qué unidades utiliza? El resultado se expresa en unidades cuadradas de la unidad que introduzcas para el lado (cm² para centímetros, in² para pulgadas, etc.).
