ما هي مساحة المنطقة المظللة؟
من أشهر مسائل الهندسة مربعٌ مرسومة بداخله دائرة تلامس أضلاعه الأربعة من الداخل (دائرة داخلية). المنطقة المظللة هي قطع الزوايا الأربع المتبقية — أي الجزء من المربع الذي لا تغطّيه الدائرة. تحسب هذه الأداة تلك المساحة لأي طول ضلع للمربع.
طريقة الاستخدام
أدخل طول ضلع المربع s. أكبر دائرة يمكن أن تتسع داخل المربع يكون قطرها مساويًا لطول الضلع، أي أن نصف قطرها يساوي \(s/2\). تحسب الأداة مساحة المربع، ثم مساحة الدائرة الداخلية، ثم تطرح إحداهما من الأخرى لتعطيك مساحة الزوايا المظللة.
شرح القانون
مساحة المربع هي \(s^2\). نصف قطر الدائرة الداخلية هو \(r = s/2\)، وبالتالي تكون مساحتها \(\pi \left(\frac{s}{2}\right)^2\). ومن ثَمّ فإن المساحة المظللة تساوي:
$$A = s^2 - \pi \left(\frac{s}{2}\right)^2$$
ويمكن كتابتها أيضًا بالصيغة \(A = s^2\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) \approx 0.2146 \times s^2\)، أي أن الزوايا الأربع تشكّل دائمًا نحو 21.46% من مساحة المربع مهما كان حجمه.
مثال محلول
لنفترض أن طول ضلع المربع يساوي 10 وحدات. مساحة المربع هي \(10^2 = 100\). ونصف قطر الدائرة يساوي 5، فتكون مساحة الدائرة \(\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.54\). ومن ثَمّ تكون مساحة المنطقة المظللة \(100 - 78.54 =\) 21.46 وحدة مربعة.
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن تكون الدائرة داخلية؟ نعم — يفترض هذا القانون أن قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع، وهي الحالة الأكثر شيوعًا في الكتب المدرسية.
ما النسبة المئوية المظللة من المربع؟ دائمًا نحو 21.46% \((1 - \frac{\pi}{4})\)، مهما كان طول الضلع.
ما الوحدات المستخدمة؟ تكون النتيجة بالوحدات المربعة لأي وحدة تدخلها لطول الضلع (سم² للسنتيمتر، بوصة² للبوصة، وهكذا).
