색칠된 영역 넓이란?
기하 문제에서 자주 등장하는 유형으로, 정사각형 안에 원이 그려져 있고 그 원이 네 변에 모두 닿는 경우가 있습니다. 바로 내접원이죠. 이때 색칠된 영역은 원이 덮지 못한 네 모서리 부분, 즉 정사각형에서 원을 뺀 나머지입니다. 이 계산기는 정사각형 한 변의 길이만 알면 그 넓이를 바로 구해 줍니다.
사용 방법
정사각형 한 변의 길이 s를 입력하세요. 정사각형 안에 들어가는 가장 큰 원의 지름은 한 변의 길이와 같으므로, 반지름은 \(s/2\)가 됩니다. 계산기는 정사각형 넓이와 내접원 넓이를 각각 구한 뒤 두 값을 빼서 색칠된 모서리 넓이를 알려 줍니다.
공식 풀이
정사각형의 넓이는 \(s^2\)입니다. 내접원의 반지름은 \(r = s/2\)이므로 원의 넓이는 \(\pi \left(\frac{s}{2}\right)^2\)입니다. 따라서 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같습니다.
$$A = s^2 - \pi \left(\frac{s}{2}\right)^2$$
이 식은 \(A = s^2 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) \approx 0.2146 \times s^2\)로도 나타낼 수 있습니다. 즉, 크기에 관계없이 네 모서리는 항상 정사각형 전체의 약 21.46%를 차지한다는 뜻입니다.
예제 풀이
정사각형 한 변의 길이가 10이라고 가정해 봅시다. 정사각형 넓이는 \(10^2 = 100\)입니다. 원의 반지름은 5이므로 원의 넓이는 \(\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.54\)가 됩니다. 따라서 색칠된 영역은 \(100 - 78.54 = \mathbf{21.46}\) 제곱 단위입니다.
자주 묻는 질문
원이 반드시 내접원이어야 하나요? 네, 이 공식은 원의 지름이 정사각형 한 변의 길이와 같다고 가정합니다. 교과서에서 가장 흔하게 다루는 형태입니다.
정사각형의 몇 퍼센트가 색칠되나요? 한 변의 길이와 상관없이 항상 약 21.46%(\(1 - \frac{\pi}{4}\))입니다.
단위는 무엇인가요? 결과는 한 변에 입력한 단위의 제곱 단위로 나옵니다. 예를 들어 cm를 입력하면 cm², inch를 입력하면 in²로 표시됩니다.
