원에 내접하는 정사각형 계산기란?
이 계산기는 원 안에 그릴 수 있는 가장 큰 정사각형(내접 정사각형)을 찾아 줍니다. 가능한 한 가장 큰 정사각형이 되려면 네 꼭짓점이 모두 원에 닿아야 하는데, 이는 곧 정사각형의 대각선이 원의 지름과 정확히 같다는 뜻입니다. 원의 반지름 하나만 입력하면 정사각형의 한 변 길이, 대각선, 넓이, 둘레, 그리고 정사각형이 원을 얼마나 채우는지(채움 비율)까지 한 번에 알려 줍니다.
사용 방법
원의 반지름(\(r\))을 원하는 단위(cm, 인치, 미터 등)로 입력하세요. 입력한 것과 같은 단위로 결과가 나옵니다. 계산 버튼을 누르면 내접 정사각형의 치수가 표시됩니다. 디자인 레이아웃, 목공 작업, CNC 절삭, 타일 시공, 또는 기하학 숙제 등 다양한 상황에서 활용할 수 있습니다.
공식 이해하기
정사각형의 대각선이 원의 지름과 같으므로, 대각선은 \(d = 2r\) 입니다. 한 변의 길이가 \(s\)인 정사각형의 대각선은 \(s\sqrt{2}\)이므로, \(s\sqrt{2} = 2r\)로 놓으면 한 변의 길이는 다음과 같습니다.
$$s = r\sqrt{2}$$ 따라서 넓이는 $$A = s^{2} = 2r^{2}$$ 둘레는 \(P = 4s\)가 됩니다. 채움 비율은 정사각형 넓이를 원 넓이(\(\pi r^{2}\))와 비교한 값으로, $$\frac{2r^{2}}{\pi r^{2}} = \frac{2}{\pi} \approx 63.66\%$$ 입니다.
계산 예시
예를 들어 \(r = 5\)라고 해 봅시다. 한 변의 길이는 $$s = 5 \times \sqrt{2} \approx 7.07$$ 입니다. 대각선은 \(2 \times 5 = 10\)(즉 지름)이고, 넓이는 \(2 \times 5^{2} = 50\)입니다. 둘레는 \(4 \times 7.07 \approx 28.28\)이 됩니다. 이때 정사각형은 원 넓이의 약 63.66%를 차지합니다.
자주 묻는 질문
왜 대각선이 지름과 같나요? 가장 큰 내접 정사각형은 네 꼭짓점이 모두 원 위에 있습니다. 따라서 마주 보는 두 꼭짓점을 잇는 선이 원의 중심을 지나게 되는데, 그 선이 바로 지름입니다.
정사각형이 원의 몇 퍼센트를 차지하나요? 반지름과 상관없이 항상 \(2/\pi \approx 63.66\%\) 입니다.
한 변의 길이에서 거꾸로 계산할 수도 있나요? 네, 가능합니다. 한 변 \(s\)를 알고 있다면 반지름은 \(r = s / \sqrt{2}\)이고, 원의 지름은 정사각형의 대각선인 \(s\sqrt{2}\)와 같습니다.
