원에 내접하는 정사각형 계산기

계산 입력

원의 반지름 (r)

결과

내접하는 가장 큰 정사각형의 한 변

7.07

단위 (s = r√2)

정사각형 대각선 (= 원의 지름)	10
정사각형 넓이	50
정사각형 둘레	28.28
채움 비율 (정사각형 넓이 / 원 넓이)	63.66%

원에 내접하는 정사각형 계산기란?

이 계산기는 원 안에 그릴 수 있는 가장 큰 정사각형(내접 정사각형)을 찾아 줍니다. 가능한 한 가장 큰 정사각형이 되려면 네 꼭짓점이 모두 원에 닿아야 하는데, 이는 곧 정사각형의 대각선이 원의 지름과 정확히 같다는 뜻입니다. 원의 반지름 하나만 입력하면 정사각형의 한 변 길이, 대각선, 넓이, 둘레, 그리고 정사각형이 원을 얼마나 채우는지(채움 비율)까지 한 번에 알려 줍니다.

원에 내접한 정사각형: 대각선은 원의 지름과 같다.

사용 방법

원의 반지름(\(r\))을 원하는 단위(cm, 인치, 미터 등)로 입력하세요. 입력한 것과 같은 단위로 결과가 나옵니다. 계산 버튼을 누르면 내접 정사각형의 치수가 표시됩니다. 디자인 레이아웃, 목공 작업, CNC 절삭, 타일 시공, 또는 기하학 숙제 등 다양한 상황에서 활용할 수 있습니다.

공식 이해하기

정사각형의 대각선이 원의 지름과 같으므로, 대각선은 \(d = 2r\) 입니다. 한 변의 길이가 \(s\)인 정사각형의 대각선은 \(s\sqrt{2}\)이므로, \(s\sqrt{2} = 2r\)로 놓으면 한 변의 길이는 다음과 같습니다.

$$s = r\sqrt{2}$$ 따라서 넓이는 $$A = s^{2} = 2r^{2}$$ 둘레는 \(P = 4s\)가 됩니다. 채움 비율은 정사각형 넓이를 원 넓이(\(\pi r^{2}\))와 비교한 값으로, $$\frac{2r^{2}}{\pi r^{2}} = \frac{2}{\pi} \approx 63.66\%$$ 입니다.

대각선 \(d\), 변 \(s\), 직각의 관계는 \(s = d/\sqrt{2} = r\sqrt{2}\)이다.

계산 예시

예를 들어 \(r = 5\)라고 해 봅시다. 한 변의 길이는 $$s = 5 \times \sqrt{2} \approx 7.07$$ 입니다. 대각선은 \(2 \times 5 = 10\)(즉 지름)이고, 넓이는 \(2 \times 5^{2} = 50\)입니다. 둘레는 \(4 \times 7.07 \approx 28.28\)이 됩니다. 이때 정사각형은 원 넓이의 약 63.66%를 차지합니다.

자주 묻는 질문

왜 대각선이 지름과 같나요? 가장 큰 내접 정사각형은 네 꼭짓점이 모두 원 위에 있습니다. 따라서 마주 보는 두 꼭짓점을 잇는 선이 원의 중심을 지나게 되는데, 그 선이 바로 지름입니다.

정사각형이 원의 몇 퍼센트를 차지하나요? 반지름과 상관없이 항상 \(2/\pi \approx 63.66\%\) 입니다.

한 변의 길이에서 거꾸로 계산할 수도 있나요? 네, 가능합니다. 한 변 \(s\)를 알고 있다면 반지름은 \(r = s / \sqrt{2}\)이고, 원의 지름은 정사각형의 대각선인 \(s\sqrt{2}\)와 같습니다.