'지구를 감은 끈' 퍼즐이란?
지구 적도에 끈을 빈틈없이 팽팽하게 감았다고 상상해 보세요. 여기에 단 1미터만 더 이어 붙인 뒤, 끈이 지구 전체 표면 위에 똑같은 높이로 떠 있도록 들어 올린다면 그 틈은 얼마나 벌어질까요? 놀랍게도 그 답은 약 16센티미터입니다. 그리고 이 값은 지구의 크기와 전혀 상관이 없습니다. 똑같이 1미터를 더한다면 농구공을 감은 끈이든 목성을 감은 끈이든 정확히 같은 16cm만큼 떠오릅니다.
공식 풀이
둘레가 \(C\)인 원의 반지름은 \(r = C/(2\pi)\)입니다. 여기에 길이 \(\Delta C\)를 더하면 새로운 반지름은 \((C + \Delta C)/(2\pi)\)가 됩니다. 틈새 높이는 두 반지름의 차이입니다.
$$h = \frac{C + \Delta C}{2\pi} - \frac{C}{2\pi} = \frac{\Delta C}{2\pi}$$
원래의 반지름 항이 깔끔하게 상쇄되기 때문에 결과는 구의 크기와 무관합니다. 오직 끈에 더한 길이만이 결과를 좌우합니다.
계산기 사용 방법
구의 반지름(기본값은 지구의 평균 반지름인 약 6,371,000m)과 끈에 더하고 싶은 추가 길이를 입력하세요. 계산기는 틈새 높이를 미터와 센티미터 단위로 알려 주고, 참고용으로 원래 둘레와 새 둘레도 함께 보여 줍니다.
예제 풀이
끈에 \(\Delta C = 1\,\text{m}\)를 더해 봅시다. 그러면 $$h = \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{6.2832} \approx 0.15915\,\text{m} \approx 15.92\,\text{cm}$$가 됩니다. 지구를 한 바퀴 도는 내내 손을 쑥 집어넣을 수 있을 만큼의 공간이죠.
자주 묻는 질문
왜 지구의 크기는 상관없나요? 빼기 과정에서 반지름 항이 상쇄되기 때문입니다. 틈새 높이는 오직 더한 길이를 \(2\pi\)로 나눈 값에만 좌우됩니다.
끈을 반드시 균일하게 들어 올려야 하나요? 네. 이 퍼즐은 틈이 한 바퀴 내내 똑같다고 가정합니다. 한 지점에서만 들어 올리면 그 부분의 틈은 훨씬 더 크게 벌어집니다.
길이를 빼면 어떻게 되나요? 추가 길이에 음수 값을 입력하면 틈새 높이도 음수가 됩니다. 이는 끈이 표면 아래로 파고 들어가야 들어맞는다는 뜻입니다.
