¿En qué consiste el acertijo de la cuerda alrededor de la Tierra?
Imagina una cuerda ceñida con firmeza alrededor del ecuador terrestre. Si le añades tan solo un metro de longitud y la levantas de manera que flote uniformemente sobre la superficie en todos los puntos, ¿qué tamaño tendrá el hueco resultante? La respuesta sorprende: unos 16 centímetros, y no depende en absoluto del tamaño de la Tierra. Ese mismo metro adicional elevaría una cuerda que rodeara un balón de baloncesto o el planeta Júpiter exactamente los mismos 16 cm.
La fórmula explicada
Una circunferencia de perímetro \(C\) tiene un radio \(r = C/(2\pi)\). Si añades una longitud \(\Delta C\), el nuevo radio es \((C + \Delta C)/(2\pi)\). El hueco es la diferencia entre los radios:
$$h = \frac{C + \Delta C}{2\pi} - \frac{C}{2\pi} = \frac{\Delta C}{2\pi}$$
El radio original se cancela por completo, y por eso el resultado es independiente del tamaño de la esfera. Lo único que importa es la cantidad de cuerda que añades.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el radio de tu esfera (por defecto aparece el radio medio de la Tierra, unos 6.371.000 m) y la longitud extra que quieres añadir a la cuerda. La calculadora te devuelve la altura del hueco en metros y centímetros, además del perímetro original y el nuevo a modo de referencia.
Ejemplo resuelto
Añadimos \(\Delta C = 1\ \text{m}\) de cuerda. Entonces $$h = \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{6{,}2832} \approx 0{,}15915\ \text{m} \approx 15{,}92\ \text{cm}$$ espacio suficiente para deslizar la mano por debajo, dando la vuelta entera al planeta.
Preguntas frecuentes
¿Por qué no influye el tamaño de la Tierra? Porque el término del radio se cancela en la resta; el hueco solo depende de la longitud añadida dividida entre \(2\pi\).
¿La cuerda tiene que elevarse de forma uniforme? Sí. Este acertijo da por supuesto que el hueco es uniforme en toda la vuelta. Si la levantas por un único punto, el hueco local es mucho mayor.
¿Y si en lugar de añadir longitud la quito? Introduce una longitud añadida negativa y el hueco saldrá negativo, lo que significa que la cuerda tendría que hundirse por debajo de la superficie para poder encajar.
