잘린 원기둥 부피 계산기란?
이 계산기는 잘린 직원기둥(truncated right circular cylinder)의 부피, 옆면(측면) 표면적, 전체 표면적을 구해 줍니다. 잘린 직원기둥이란 반지름이 \(r\)인 원기둥의 윗부분을 밑면과 평행하지 않은 하나의 평면으로 비스듬히 잘라낸 입체를 말합니다. 이렇게 자르면 높이가 낮은 쪽(\(h_1\))과 높은 쪽(\(h_2\))이 생기고, 아랫면은 평평한 원, 윗면은 타원이 됩니다. 세 가지 입력값은 모두 같은 길이 단위를 사용하며, 부피는 그 단위의 세제곱, 면적은 제곱 단위로 나옵니다.
사용 방법
반지름 \(r\), 낮은 쪽 높이(최솟값) \(h_1\), 높은 쪽 높이(최댓값) \(h_2\)를 입력하세요. 조건은 \(r > 0\), \(h_1 \geq 0\), \(h_2 \geq h_1\)입니다. 만약 실수로 \(h_1\)을 \(h_2\)보다 크게 입력해도 두 값을 자동으로 바꿔 계산합니다. 이름만 다를 뿐 도형 자체는 대칭이기 때문입니다.
공식 풀이
비스듬한 윗면이 도형의 중심선을 지나므로, 부피는 두 측면 높이의 평균을 높이로 하는 일반 원기둥의 부피와 같습니다:
$$V = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}$$곡면 벽을 펼치면 옆면적은
$$S_{\text{side}} = \pi \cdot r \cdot (h_1 + h_2)$$가 됩니다. 비스듬히 잘린 단면은 단반경이 \(r\), 장반경이 \(r / \cos(\theta)\)인 타원이며, 여기서 \(\tan(\theta) = (h_2 - h_1) / (2r)\)입니다. 따라서 윗면 넓이는
$$A_{\text{top}} = \pi \cdot r^2 \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{h_2 - h_1}{2r}\right)^2}$$입니다. 여기에 평평한 밑면 \(A_{\text{base}} = \pi \cdot r^2\)를 더하면 전체 표면적 \(S = S_{\text{side}} + A_{\text{top}} + A_{\text{base}}\)가 됩니다.
계산 예시
\(r = 5\), \(h_1 = 8\), \(h_2 = 12\)인 경우를 살펴보겠습니다. 평균 높이 \(h_{\text{Mean}} = 10\)이므로 \(V = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \approx 785.398\). 옆면적 \(= \pi \cdot 5 \cdot 20 = 100\pi \approx 314.159\). 기울기 \(= (12 - 8)/(2 \cdot 5) = 0.4\)이므로 \(A_{\text{top}} = \pi \cdot 25 \cdot \sqrt{1.16} \approx 84.590\). 밑면 \(= 25\pi \approx 78.540\). 따라서 전체 표면적 \(\approx 314.159 + 84.590 + 78.540 = 477.289\)입니다.
자주 묻는 질문(FAQ)
h1과 h2가 같으면 어떻게 되나요? 그러면 입체는 평범한 원기둥이 됩니다. 기울기가 0이 되고 위아래 모두 넓이가 \(\pi r^2\)인 원이 되며, 공식도 자연스럽게 원기둥 공식으로 환원됩니다.
왜 윗면이 밑면보다 넓은가요? 원기둥을 비스듬히 자른 평면은 항상 타원을 만들고, 이 타원은 수직으로 자른 원형 단면보다 면적이 더 크기 때문입니다.
단위를 변환해야 하나요? 세 입력값이 같은 단위만 쓰면 됩니다. 그러면 결과는 자동으로 그 단위의 세제곱(부피) 또는 제곱(면적)으로 나옵니다.
