कटे बेलन का आयतन कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी कटे हुए लंब वृत्तीय बेलन का आयतन, पार्श्व (साइड) सतह क्षेत्रफल और कुल सतह क्षेत्रफल निकालता है। कटा बेलन ऐसा बेलन होता है जिसकी त्रिज्या \(r\) हो और जिसका ऊपरी सिरा एक ऐसे सपाट तल से काटा गया हो जो आधार के समांतर न हो। इस तिरछी कटाई से एक छोटी भुजा बनती है जिसकी ऊर्ध्वाधर ऊँचाई \(h_1\) होती है और एक बड़ी भुजा बनती है जिसकी ऊँचाई \(h_2\) होती है। नीचे का तल एक सपाट वृत्त होता है और ऊपर का तल एक दीर्घवृत्त (ellipse) होता है। तीनों इनपुट एक ही लंबाई इकाई में होने चाहिए; आयतन इकाई के घन (unit³) में और क्षेत्रफल इकाई के वर्ग (unit²) में मिलता है।
इसका उपयोग कैसे करें
त्रिज्या \(r\), न्यूनतम (छोटी भुजा) ऊँचाई \(h_1\) और अधिकतम (बड़ी भुजा) ऊँचाई \(h_2\) दर्ज करें। शर्तें: \(r > 0\), \(h_1 \ge 0\), और \(h_2 \ge h_1\)। अगर गलती से आप \(h_1\) को \(h_2\) से बड़ा डाल देते हैं, तो कैलकुलेटर दोनों को आपस में बदल देता है, क्योंकि नामकरण की दृष्टि से ज्यामिति सममित होती है।
सूत्रों की व्याख्या
तिरछा ऊपरी तल केंद्रक रेखा से होकर गुजरता है, इसलिए आयतन उस सामान्य बेलन के बराबर होता है जिसकी ऊँचाई दोनों भुजाओं का औसत हो: $$V = \pi \, r^{2} \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}$$ घुमावदार दीवार को खोलने पर पार्श्व क्षेत्रफल मिलता है: $$S_{\text{side}} = \pi \, r \, (h_1 + h_2)$$ तिरछी कटाई एक दीर्घवृत्त बनाती है जिसका अर्ध-लघु अक्ष \(r\) और अर्ध-दीर्घ अक्ष \(r / \cos(\theta)\) होता है, जहाँ \(\tan(\theta) = \frac{h_2 - h_1}{2r}\); इसका क्षेत्रफल $$A_{\text{top}} = \pi \, r^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{h_2 - h_1}{2r}\right)^{2}}$$ होता है। इसमें सपाट आधार \(A_{\text{base}} = \pi \, r^{2}\) जोड़ने पर कुल सतह क्षेत्रफल $$S = S_{\text{side}} + A_{\text{top}} + A_{\text{base}}$$ मिलता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(r = 5\), \(h_1 = 8\), \(h_2 = 12\): तब \(h_{\text{Mean}} = 10\), इसलिए $$V = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \approx 785.398$$ पार्श्व क्षेत्रफल \(= \pi \cdot 5 \cdot 20 = 100\pi \approx 314.159\)। ढलान \(= \frac{12 - 8}{2 \cdot 5} = 0.4\), इसलिए \(A_{\text{top}} = \pi \cdot 25 \cdot \sqrt{1.16} \approx 84.590\)। आधार \(= 25\pi \approx 78.540\)। कुल सतह क्षेत्रफल \(\approx 314.159 + 84.590 + 78.540 = 477.289\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर \(h_1\) और \(h_2\) बराबर हों तो क्या होगा? तब यह ठोस एक साधारण बेलन बन जाता है: ढलान 0 हो जाता है, दोनों सिरे \(\pi r^{2}\) क्षेत्रफल वाले वृत्त बन जाते हैं, और सूत्र सही ढंग से सरल हो जाते हैं।
ऊपरी सतह आधार से बड़ी क्यों होती है? बेलन को तिरछा काटने वाला तल एक दीर्घवृत्त बनाता है, और इसका क्षेत्रफल हमेशा लंबवत वृत्तीय अनुप्रस्थ काट से बड़ा होता है।
क्या मुझे इकाइयाँ बदलनी पड़ेंगी? बस इतना ध्यान रखें कि तीनों इनपुट एक ही इकाई में हों। फिर परिणाम स्वतः उसी इकाई के घन (आयतन) या वर्ग (क्षेत्रफल) में आ जाएँगे।
