什麼是密切圓？
密切圓（osculating circle）是在曲線上某一點最能貼近、最能近似該曲線的圓。它在這一點「親吻」曲線──拉丁文 osculare 正是「親吻」之意──不僅通過該點本身，還與曲線的斜率以及彎曲程度完全吻合。對於任何由 \(x(t)\) 與 \(y(t)\) 定義的平滑參數曲線，在選定參數 \(t\) 處的密切圓，會與曲線在該點的切線方向及曲率一致。
本計算機會根據你輸入的參數方程與某個 \(t\) 值，回傳三項結果：曲率 \(\kappa\)、曲率半徑 \(R\)，以及該圓的圓心座標。這些量在物理學、道路與鐵路設計、電腦繪圖以及微分幾何等領域都有廣泛應用。
計算機使用方法
- 輸入曲線的 x 分量（以 \(t\) 為自變數的函數），例如
cos(t)。 - 輸入 y 分量，例如
sin(t)。 - 輸入你想求密切圓的參數值 \(t\)（若使用三角函數，則以弧度為單位）。
- 即可讀出曲率、曲率半徑與圓心座標。
公式解析
對於參數曲線，曲率的公式為：
$$\kappa = \frac{\left| x^{\prime} y^{\prime\prime} - y^{\prime} x^{\prime\prime} \right|}{\left( x^{\prime 2} + y^{\prime 2} \right)^{3/2}}$$
曲率半徑就是它的倒數：$$R = \frac{1}{\kappa}$$。半徑越大，表示彎得越平緩；半徑越小，表示轉得越急。
密切圓的圓心位於曲線之外、距離曲線 \(R\) 的位置，方向沿著指向內側的法線。圓心座標由曲線上的點 \((x, y)\) 加上對應的法向偏移量計算而得。
實例演算
以曲線 \(x(t) = \cos(t)\)、\(y(t) = \sin(t)\)──也就是單位圓──在 \(t = 0\) 處為例。此時 \(x^{\prime} = -\sin(t)\)、\(y^{\prime} = \cos(t)\)、\(x^{\prime\prime} = -\cos(t)\)、\(y^{\prime\prime} = -\sin(t)\)。代入 \(t = 0\) 可得曲率 \(\kappa = 1\)，因此半徑 \(R = 1\)，圓心落在原點 \((0, 0)\)。這個結果完全合理：單位圓的密切圓就是它自己。
常見問題
\(t\) 的單位是什麼？如果你的函數含有三角函數項，\(t\) 會以弧度（radian）計算；若是多項式曲線，\(t\) 就只是一個無因次的參數。
如果曲率為零會怎樣？在反曲點或一段直線上，\(\kappa = 0\)，半徑會變成無窮大──此時並不存在有限的密切圓，只有一條切線。
曲率為什麼這麼有用？它量化了物體轉彎的急緩程度。工程師用它來限制道路上的橫向加速度，動畫師則用它來打造平滑的運動軌跡。
