접촉원 계산기

계산 입력

결과

입력	값
x(t)	t
y(t)	t^2
t	5

결과	값
점 (x, y)	(5, 25)
곡률	0.002
곡률반지름	507.5187
접촉원의 중심	(-500, 75.5)

접촉원이란 무엇인가요?

접촉원(osculating circle)은 곡선의 특정 지점을 가장 잘 근사하는 원입니다. 라틴어 osculare가 '입맞추다'라는 뜻인 데서 알 수 있듯, 이 원은 곡선과 그 지점에서 살짝 '입맞추듯' 맞닿아 있습니다. 단순히 한 점에서 만나는 것을 넘어, 곡선의 기울기(접선 방향)와 휘어지는 정도(곡률)까지 똑같이 맞춰지는 것이 특징입니다. $x(t)$와 $y(t)$로 정의된 매끄러운 매개변수 곡선이라면, 선택한 매개변수 $t$에서의 접촉원은 그 점에서 곡선의 접선 방향과 곡률을 그대로 공유합니다.

이 계산기는 매개변수 방정식과 $t$ 값을 입력받아 세 가지 결과를 돌려줍니다. 바로 곡률 $\kappa$, 곡률반지름 $R$, 그리고 원의 중심 좌표입니다. 이들 값은 물리학, 도로·철도 설계, 컴퓨터 그래픽스, 미분기하학 등 다양한 분야에서 폭넓게 활용됩니다.

한 점에서 접하는 접촉원이 있는 곡선 — 접촉원은 한 점에서 곡선에 밀착하여 접선과 곡률을 공유합니다.

계산기 사용 방법

곡선의 x 성분을 $t$에 관한 함수로 입력합니다. 예: cos(t)
y 성분도 같은 방식으로 입력합니다. 예: sin(t)
접촉원을 구하려는 매개변수 $t$ 값을 입력합니다. (삼각함수가 쓰이는 경우 단위는 라디안입니다.)
곡률, 곡률반지름, 중심 좌표를 바로 확인합니다.

공식 풀이

매개변수 곡선의 곡률은 다음과 같이 구합니다.

$$\kappa = \frac{\left| x^{\prime} y^{\prime\prime} - y^{\prime} x^{\prime\prime} \right|}{\left( x^{\prime 2} + y^{\prime 2} \right)^{3/2}}$$

곡률반지름은 곡률의 역수일 뿐입니다. $$R = \frac{1}{\kappa}$$ 반지름이 클수록 완만하게 휘고, 작을수록 급격하게 꺾이는 곡선이라는 뜻입니다.

접촉원의 중심은 곡선에서 $R$만큼 떨어진 지점, 즉 안쪽을 향하는 법선 방향 위에 위치합니다. 중심 좌표는 곡선 위의 점 $(x, y)$에 적절한 법선 방향 변위를 더해 계산됩니다.

곡선 위 한 점에서의 곡률 반지름, 중심, 접선을 보여주는 그림 — 반지름 $R$은 곡률의 역수이며, 중심은 안쪽 법선 방향에 있습니다.

예제로 확인하기

곡선 $x(t) = \cos(t)$, $y(t) = \sin(t)$는 단위원입니다. 여기서 $t = 0$인 지점을 살펴봅시다. 이때 $x^{\prime} = -\sin(t)$, $y^{\prime} = \cos(t)$, $x^{\prime\prime} = -\cos(t)$, $y^{\prime\prime} = -\sin(t)$이고, $t = 0$을 대입하면 곡률 $\kappa = 1$이 되어 반지름 $R = 1$이 됩니다. 중심은 원점 $(0, 0)$에 놓입니다. 단위원의 접촉원이 바로 그 단위원 자신이라는 점을 생각하면 지극히 자연스러운 결과죠.