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परिणाम

वृत्त का केंद्र

(3, -4)

Radius r = 4

केंद्र x = -D/2	3
केंद्र y = -E/2	-4
r² का मान	16
त्रिज्या r	4

यह कैलकुलेटर क्या करता है

जब किसी वृत्त को सामान्य रूप $x^{2}+y^{2}+\text{D}\,x+\text{E}\,y+\text{F}=0$ में लिखा जाता है, तो उसका केंद्र और त्रिज्या सीधे नज़र नहीं आते। यह कैलकुलेटर वर्ग पूर्ण करने (completing the square) की बीजगणितीय विधि का उपयोग करके समीकरण को मानक रूप $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ में बदल देता है, जिससे केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ एक नज़र में दिख जाते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने समीकरण से तीनों गुणांक सीधे पढ़ें: $\text{D}$ वह संख्या है जो $x$ के साथ गुणा होती है, $\text{E}$ वह संख्या है जो $y$ के साथ गुणा होती है, और $\text{F}$ स्थिर पद (constant) है। प्रत्येक मान को उसके चिह्न (+ या −) सहित दर्ज करें, और कैलकुलेटर केंद्र के निर्देशांक तथा त्रिज्या बता देगा। यदि $r^{2}$ का मान ऋणात्मक आता है, तो इसका अर्थ है कि समीकरण किसी वास्तविक वृत्त को नहीं दर्शाता (बिंदु काल्पनिक हैं)।

सूत्र की व्याख्या

वर्ग पूर्ण करने में $x$ वाले पदों और $y$ वाले पदों को अलग-अलग समूहों में रखा जाता है: $(x^{2}+\text{D}x)+(y^{2}+\text{E}y)=-\text{F}$। दोनों पक्षों में $(\text{D}/2)^{2}$ और $(\text{E}/2)^{2}$ जोड़ने पर पूर्ण वर्ग बन जाते हैं, जिससे मिलता है $$\left(x+\frac{\text{D}}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{\text{E}}{2}\right)^{2}=\frac{\text{D}^{2}}{4}+\frac{\text{E}^{2}}{4}-\text{F}$$ इसकी मानक रूप से तुलना करने पर पता चलता है कि केंद्र $\left(-\dfrac{\text{D}}{2}, -\dfrac{\text{E}}{2}\right)$ है और त्रिज्या दाएं पक्ष का वर्गमूल है।

निर्देशांक तल पर वृत्त जो केंद्र बिंदु और त्रिज्या दिखा रहा है — मानक रूप में एक वृत्त जिसका केंद्र $(-\text{D}/2, -\text{E}/2)$ और त्रिज्या $r$ है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0$, तो $\text{D}=-6$, $\text{E}=8$, $\text{F}=9$। केंद्र $x=-(-6)/2=3$ और केंद्र $y=-8/2=-4$, अर्थात् केंद्र $(3, -4)$। फिर $$r^{2}=\frac{36}{4}+\frac{64}{4}-9=9+16-9=16$$ इसलिए $r=\sqrt{16}=4$। मानक रूप होगा $$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=16$$

बीजगणितीय वर्ग पूरा करना वर्गों के समूहन के रूप में दर्शाया गया — वर्ग पूरा करने से $\text{D}x$ और $\text{E}y$ पद पूर्ण-वर्ग द्विपद में बदल जाते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि $r^{2}$ ऋणात्मक हो तो? तब समीकरण किसी वास्तविक वृत्त को नहीं दर्शाता — ऐसा कोई वास्तविक बिंदु नहीं है जो इसे संतुष्ट करे।

यदि $r^{2}$ शून्य के बराबर हो तो? तब "वृत्त" सिकुड़कर केंद्र पर सिर्फ एक बिंदु बन जाता है, जिसे अपभ्रष्ट (degenerate) या बिंदु-वृत्त कहते हैं।

क्या यह तब भी काम करेगा जब $x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांक 1 न हों? पहले पूरे समीकरण को उस उभयनिष्ठ गुणांक से भाग दें ताकि दोनों वर्ग पदों का गुणांक 1 हो जाए, फिर $\text{D}$, $\text{E}$ और $\text{F}$ दर्ज करें।

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