Qu'est-ce qu'un vecteur unitaire ?
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la longueur (la norme) vaut exactement 1 et qui pointe dans la même direction que le vecteur d'origine. Normaliser un vecteur consiste à le réduire (ou l'agrandir) jusqu'à une longueur unitaire tout en conservant sa direction. Les vecteurs unitaires sont omniprésents en physique, en infographie, en robotique et en apprentissage automatique pour représenter une direction pure, sans information de grandeur.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes X et Y de votre vecteur. Si vous travaillez en 3D, renseignez également la composante Z (laissez-la à 0 pour un vecteur en 2D). Le calculateur détermine la norme, puis divise chaque composante par celle-ci pour renvoyer le vecteur unitaire û.
La formule expliquée
Pour un vecteur \(\vec{a} = (x, y, z)\), la norme vaut \(\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\). Le vecteur unitaire est \(\hat{u} = \vec{a} / \lVert \vec{a} \rVert\), c'est-à-dire que chaque composante est divisée par la norme :
$$\hat{u} = \left(\frac{x}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{y}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{z}{\lVert \vec{a} \rVert}\right)$$Le résultat vérifie toujours \(\lVert \hat{u} \rVert = 1\). À noter : le vecteur nul ne peut pas être normalisé, car sa norme est égale à 0.
Exemple concret
Prenons \(\vec{a} = (3, 4, 0)\). La norme vaut $$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$ Le vecteur unitaire est donc $$\hat{u} = \left(\frac{3}{5},\; \frac{4}{5},\; \frac{0}{5}\right) = (0{,}6\,;\ 0{,}8\,;\ 0).$$ Vérification : \(\sqrt{0{,}6^{2} + 0{,}8^{2}} = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1\), ce qui confirme bien une longueur unitaire.
FAQ
Que se passe-t-il si mon vecteur est le vecteur nul ? Le vecteur nul \((0, 0, 0)\) a une norme égale à 0 et ne peut donc pas être normalisé : la division par zéro n'est pas définie. Dans ce cas, le calculateur renvoie 0 pour chaque composante.
Cela fonctionne-t-il pour les vecteurs en 2D ? Oui. Il suffit de laisser la composante Z à 0 et la formule se ramène alors au cas 2D.
Un vecteur unitaire peut-il avoir des composantes négatives ? Oui. La direction est conservée : si le vecteur d'origine pointe dans une direction négative, le vecteur unitaire fera de même : seule sa longueur est ramenée à 1.
