Vectơ đơn vị là gì?
Vectơ đơn vị là vectơ có độ lớn (độ dài) đúng bằng 1 và cùng hướng với vectơ ban đầu. Chuẩn hóa một vectơ nghĩa là thu nhỏ (hoặc phóng to) nó về độ dài bằng 1 mà vẫn giữ nguyên hướng. Vectơ đơn vị xuất hiện ở khắp nơi trong vật lý, đồ họa máy tính, robot học và học máy (machine learning) để biểu diễn thuần túy phương hướng mà không quan tâm đến độ lớn.
Cách sử dụng máy tính
Bạn nhập thành phần X và Y của vectơ. Nếu đang làm việc trong không gian 3D, hãy nhập thêm thành phần Z (để 0 nếu là vectơ 2D). Máy tính sẽ tính độ lớn rồi chia từng thành phần cho độ lớn đó để trả về vectơ đơn vị û.
Giải thích công thức
Với vectơ \(\vec{a} = (x, y, z)\), độ lớn được tính bằng \(\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\). Vectơ đơn vị là
$$\hat{u} = \frac{\vec{a}}{\lVert \vec{a} \rVert}$$nghĩa là mỗi thành phần được chia cho độ lớn:
$$\hat{u} = \left(\frac{x}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{y}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{z}{\lVert \vec{a} \rVert}\right)$$Kết quả luôn thỏa mãn \(\lVert \hat{u} \rVert = 1\). Lưu ý rằng không thể chuẩn hóa vectơ không (vectơ rỗng) vì độ lớn của nó bằng 0.
Ví dụ minh họa
Lấy \(\vec{a} = (3, 4, 0)\). Độ lớn là
$$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5$$Vectơ đơn vị là
$$\hat{u} = \left(\frac{3}{5},\; \frac{4}{5},\; \frac{0}{5}\right) = (0.6,\; 0.8,\; 0)$$Kiểm tra lại:
$$\sqrt{0.6^{2} + 0.8^{2}} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$$xác nhận vectơ này có độ dài bằng 1.
Câu hỏi thường gặp
Nếu vectơ của tôi là vectơ không thì sao? Vectơ không \((0, 0, 0)\) có độ lớn bằng 0 nên không thể chuẩn hóa — phép chia cho 0 không xác định, vì vậy trong trường hợp này máy tính sẽ trả về 0 cho mỗi thành phần.
Máy tính này có dùng cho vectơ 2D không? Có. Bạn chỉ cần để thành phần Z bằng 0 và công thức sẽ tự rút gọn về trường hợp 2D.
Vectơ đơn vị có thể có thành phần âm không? Có. Hướng của vectơ luôn được giữ nguyên, nên nếu vectơ ban đầu hướng theo chiều âm thì vectơ đơn vị cũng vậy — chỉ có độ dài được chuẩn hóa về 1.
