単位ベクトルとは？
単位ベクトルとは、元のベクトルと同じ向きを持ちつつ、長さ（大きさ）がちょうど1のベクトルのことです。正規化（規格化）とは、向きをそのまま保ったまま、ベクトルを長さ1になるように縮小・拡大する操作を指します。単位ベクトルは、大きさを除いた「純粋な向き」を表すために、物理学・コンピューターグラフィックス・ロボティクス・機械学習など、あらゆる分野で使われています。
この計算ツールの使い方
まず、ベクトルのX成分とY成分を入力します。3次元で計算する場合は、Z成分も入力してください（2次元ベクトルの場合はZを0のままにします）。ツールが自動的に大きさを計算し、各成分をその大きさで割って、単位ベクトル \(\hat{u}\) を返します。
計算式の解説
ベクトル \(\vec{a} = (x, y, z)\) に対して、大きさは \(\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\) で求められます。単位ベクトルは $$\hat{u} = \frac{\vec{a}}{\lVert \vec{a} \rVert}$$ となり、各成分を大きさで割った形になります： $$\hat{u} = \left(\frac{x}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{y}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{z}{\lVert \vec{a} \rVert}\right)$$ この結果は常に \(\lVert \hat{u} \rVert = 1\) を満たします。なお、零ベクトルは大きさが0のため正規化できない点に注意してください。
計算例
\(\vec{a} = (3, 4, 0)\) で考えてみましょう。大きさは $$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5$$ です。単位ベクトルは $$\hat{u} = \left(\frac{3}{5},\; \frac{4}{5},\; \frac{0}{5}\right) = (0.6,\; 0.8,\; 0)$$ となります。検算してみると、 $$\sqrt{0.6^{2} + 0.8^{2}} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$$ となり、確かに長さが1であることが確認できます。
よくある質問
ベクトルが零ベクトルの場合はどうなりますか？ 零ベクトル \((0, 0, 0)\) は大きさが0であり、正規化できません。0で割ることは定義されていないため、この計算ツールではその場合、各成分に0を返します。
2次元ベクトルでも使えますか？ はい、使えます。Z成分を0のままにしておけば、計算式は自動的に2次元の場合に対応します。
単位ベクトルの成分は負になることもありますか？ はい、あります。向きは保たれるため、元のベクトルが負の方向を向いていれば、単位ベクトルも同じ向きになります。正規化されるのは長さだけで、1に揃えられます。
