Что такое единичный вектор?
Единичный вектор — это вектор, длина (модуль) которого равна ровно 1 и который направлен туда же, куда и исходный вектор. Нормализация — это масштабирование вектора до единичной длины с сохранением его направления. Единичные векторы применяются повсюду: в физике, компьютерной графике, робототехнике и машинном обучении — когда нужно задать чистое направление без учёта величины.
Как пользоваться калькулятором
Введите компоненты X и Y вашего вектора. Если вы работаете в трёхмерном пространстве, укажите ещё и компоненту Z (для двумерного вектора оставьте её равной 0). Калькулятор вычислит модуль и разделит на него каждую компоненту, возвращая единичный вектор û.
Разбор формулы
Для вектора \(\vec{a} = (x, y, z)\) модуль равен \(\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\). Единичный вектор находится как $$\hat{u} = \frac{\vec{a}}{\lVert \vec{a} \rVert},$$ то есть каждая компонента делится на модуль: $$\hat{u} = \left(\frac{x}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{y}{\lVert \vec{a} \rVert},\; \frac{z}{\lVert \vec{a} \rVert}\right).$$ Результат всегда удовлетворяет условию \(\lVert \hat{u} \rVert = 1\). Обратите внимание: нулевой вектор нормализовать нельзя, так как его модуль равен 0.
Пример с решением
Возьмём \(\vec{a} = (3, 4, 0)\). Модуль равен $$\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$ Единичный вектор $$\hat{u} = \left(\tfrac{3}{5},\; \tfrac{4}{5},\; \tfrac{0}{5}\right) = (0{,}6;\; 0{,}8;\; 0).$$ Проверка: $$\sqrt{0{,}6^{2} + 0{,}8^{2}} = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1$$ — длина действительно равна единице.
Частые вопросы
Что делать, если у меня нулевой вектор? Нулевой вектор (0, 0, 0) имеет модуль 0 и не поддаётся нормализации — деление на ноль не определено, поэтому в таком случае калькулятор возвращает 0 для каждой компоненты.
Подходит ли это для двумерных векторов? Да. Просто оставьте компоненту Z равной 0 — и формула сведётся к двумерному случаю.
Может ли единичный вектор иметь отрицательные компоненты? Да. Направление сохраняется, поэтому если исходный вектор направлен в отрицательную сторону, единичный вектор тоже будет направлен туда же — нормализуется лишь его длина до 1.
