Калькулятор единичной окружности

Введите расчет

Угол

Единица измерения угла Degrees Radians

Результатов

Координаты на единичной окружности

(0,7071, 0,7071)

(cos θ, sin θ)

cos θ (x)	0,707107
sin θ (y)	0,707107
tan θ	1
Угол (в градусах)	45°
Угол (в радианах)	0,785398

Что такое калькулятор единичной окружности?

Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат (0, 0). Для любого угла \(\theta\), отсчитываемого против часовой стрелки от положительного направления оси x, точка пересечения конечного луча угла с окружностью имеет координаты \((\cos\theta,\, \sin\theta)\). Этот калькулятор мгновенно выдаёт такую точку вместе со значениями \(\cos\theta\), \(\sin\theta\) и \(\tan\theta\) — для любого угла, который вы введёте в градусах или радианах.

Как пользоваться

Введите угол и выберите, в каких единицах он задан — в градусах или радианах. Калькулятор при необходимости выполнит перевод и покажет координату x (\(\cos\theta\)), координату y (\(\sin\theta\)), тангенс (\(y/x\)), а также сам угол в обеих системах измерения. Угол может быть отрицательным или превышать 360° — тригонометрические функции автоматически «обходят» окружность по кругу.

Разбор формулы

Поскольку радиус равен 1, обычная тригонометрия прямоугольного треугольника сводится к простым тождествам:

$$(x,\,y) = \left( \cos\theta,\; \sin\theta \right), \quad \theta = \text{Angle} \times \frac{\pi}{180}$$

Тангенс равен отношению \(y/x = \sin\theta / \cos\theta\) и показывает угловой коэффициент (наклон) конечного луча. Когда \(\cos\theta = 0\) (при 90° и 270°), тангенс не определён, так как луч расположен вертикально.

Реклама

На единичной окружности точка под углом \(\theta\) имеет координаты \((\cos\theta,\, \sin\theta)\).

Пример расчёта

Для \(\theta = 45°\): \(\cos 45° = \sqrt{2}/2 \approx 0{,}7071\) и \(\sin 45° = \sqrt{2}/2 \approx 0{,}7071\), поэтому искомая точка — \((0{,}7071;\ 0{,}7071)\). Тангенс равен $$\tan 45° = \frac{0{,}7071}{0{,}7071} = 1.$$

Это полностью совпадает с известным значением единичной окружности, где луч под углом 45° делит первую четверть пополам.

Знаки \(\cos\theta\) и \(\sin\theta\) меняются в четырёх четвертях.

Частые вопросы

Что означает точка на единичной окружности? Каждая точка \((\cos\theta,\, \sin\theta)\) задаёт горизонтальную и вертикальную составляющие единичного вектора направления под углом \(\theta\).

Почему tan θ иногда пуст или равен NaN? При 90° и 270° косинус равен нулю, а деление на ноль делает тангенс неопределённым.

Можно ли вводить углы больше 360°? Да. Синус и косинус периодичны, поэтому 405° даёт тот же результат, что и 45°.