Что такое прямоугольная усечённая пирамида (обелиск)?
Прямоугольная усечённая пирамида — это тело, которое получается, если у прямоугольной пирамиды срезать вершину плоскостью, параллельной основанию. В результате остаются две параллельные прямоугольные грани разного размера, соединённые четырьмя наклонными трапециевидными боковыми гранями. В классической геометрии такую фигуру называют обелиском, и она относится к семейству призматоидов. Стороны верхнего прямоугольника обозначим \(a\) и \(b\), нижнего — \(A\) и \(B\), причём \(a\) параллельна \(A\), а \(b\) параллельна \(B\). Обе грани лежат в параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно перпендикулярной высоте \(h\).
Разбор формулы
Поскольку верхняя и нижняя грани могут иметь разное соотношение сторон, простая формула «усечённой пирамиды» здесь недостаточно универсальна. Поэтому мы используем правило призматоида:
$$V = \frac{h}{6}\left(S_{\text{верх}} + 4\cdot S_{\text{сред}} + S_{\text{низ}}\right)$$
Здесь \(S_{\text{верх}} = a\cdot b\), \(S_{\text{низ}} = A\cdot B\), а \(S_{\text{сред}}\) — площадь сечения на половине высоты. Это сечение само является прямоугольником, стороны которого равны средним арифметическим соответствующих верхних и нижних сторон, то есть \(S_{\text{сред}} = \left(\frac{a+A}{2}\right)\cdot\left(\frac{b+B}{2}\right)\). После подстановки и упрощения получаем компактную формулу обелиска: $$V = \frac{h}{6}\left[\left(2a + A\right)b + \left(2A + a\right)B\right]$$
Как пользоваться калькулятором
Введите две верхние стороны (\(a\) и \(b\)), две нижние стороны (\(A\) и \(B\)) и высоту \(h\). Все пять длин должны быть указаны в одних и тех же единицах; объём получится в кубе этой единицы. Преобразования единиц нет, поэтому если вы работаете в сантиметрах, результат будет в кубических сантиметрах. Чтобы изменить масштаб, умножьте все длины на один и тот же коэффициент \(s\) — объём при этом изменится в \(s^3\) раз.
Разбор примера
Пусть \(a=3\), \(b=2\), \(A=4\), \(B=3\), \(h=2\): \((2\cdot3+4)\cdot2 = 20\) и \((2\cdot4+3)\cdot3 = 33\), в сумме \(53\). Тогда $$V = \frac{2}{6}\cdot53 = 17{,}6667$$ кубических единиц. Проверим через формулу призматоида: \(S_{\text{верх}}=6\), \(S_{\text{низ}}=12\), \(S_{\text{сред}}=3{,}5\cdot2{,}5=8{,}75\), значит \(V=\frac{2}{6}(6+35+12)=17{,}6667\). Оба способа дают одинаковый результат.
Частые вопросы
Что если верхняя и нижняя грани равны? Если \(a=A\) и \(b=B\), тело превращается в обычный прямоугольный параллелепипед, и формула сводится к \(V = a\cdot b\cdot h\).
Что если верхняя грань стягивается в точку? При \(a=0\) и \(b=0\) получается полноценная прямоугольная пирамида, и формула даёт \(V = \frac{A\cdot B\cdot h}{3}\).
Может ли высота быть равной нулю? При высоте 0 тело сплющивается в плоскую фигуру, поэтому объём равен 0. Для реального тела используйте положительную высоту.
