사각뿔대(오벨리스크)란?
사각뿔대는 사각뿔의 꼭대기를 밑면과 평행하게 잘라냈을 때 생기는 입체입니다. 잘라낸 결과로 크기가 다른 두 개의 평행한 직사각형 면이 남고, 이 두 면은 네 개의 비스듬한 사다리꼴 옆면으로 이어집니다. 고전 기하학에서는 이 도형을 오벨리스크(obelisk)라고 부르며, 프리즈마토이드(prismatoid) 계열에 속합니다. 윗면 직사각형의 변은 \(a\)와 \(b\), 아랫면 직사각형의 변은 \(A\)와 \(B\)이며, \(a\)는 \(A\)와, \(b\)는 \(B\)와 서로 평행합니다. 두 면은 서로 평행한 평면 위에 놓이고, 그 사이의 수직 거리가 높이 \(h\)입니다.
공식 풀이
윗면과 아랫면의 가로세로 비율이 꼭 같지는 않기 때문에, 단순한 "잘린 사각뿔" 공식만으로는 모든 경우를 다룰 수 없습니다. 그래서 더 일반적인 프리즈마토이드 공식을 사용합니다.
$$V = \frac{h}{6}\left(S_{\text{top}} + 4\cdot S_{\text{mid}} + S_{\text{bottom}}\right)$$
여기서 \(S_{\text{top}} = a\cdot b\)는 윗면 넓이, \(S_{\text{bottom}} = A\cdot B\)는 아랫면 넓이, \(S_{\text{mid}}\)는 높이의 정확히 절반 지점에서 자른 단면의 넓이입니다. 이 중간 단면 역시 직사각형이며, 각 변은 대응하는 윗면·아랫면 변의 평균값이 됩니다. 즉 \(S_{\text{mid}} = \left(\frac{a+A}{2}\right)\cdot\left(\frac{b+B}{2}\right)\)입니다. 이를 대입해 정리하면 간결한 오벨리스크 공식을 얻습니다: $$V = \frac{h}{6}\left[\left(2\,a + A\right)b + \left(2\,A + a\right)B\right]$$
계산기 사용법
윗면의 두 변(\(a\), \(b\)), 아랫면의 두 변(\(A\), \(B\)), 그리고 높이 \(h\)를 입력하세요. 다섯 개의 길이는 모두 같은 단위로 입력해야 하며, 부피는 그 단위의 세제곱으로 나옵니다. 단위 변환은 따로 하지 않으므로, 센티미터로 입력하면 결과는 세제곱센티미터(cm³)로 나옵니다. 크기를 조정하려면 모든 길이에 같은 배율 \(s\)를 곱하면 되고, 이때 부피는 \(s^3\)배로 커집니다.
예제 풀이
\(a=3\), \(b=2\), \(A=4\), \(B=3\), \(h=2\)일 때: \((2\cdot 3+4)\cdot 2 = 20\), \((2\cdot 4+3)\cdot 3 = 33\)이고, 둘을 더하면 \(53\)입니다. 따라서 $$V = \frac{2}{6}\cdot 53 = 17.6667 \text{ (단위}^3)$$ 프리즈마토이드 공식으로 검산하면 \(S_{\text{top}}=6\), \(S_{\text{bottom}}=12\), \(S_{\text{mid}}=3.5\cdot 2.5=8.75\)이므로 \(V=\frac{2}{6}(6+35+12)=17.6667\). 두 방법의 결과가 일치합니다.
자주 묻는 질문
윗면과 아랫면이 같으면 어떻게 되나요? \(a=A\), \(b=B\)이면 입체는 그냥 직육면체가 되며, 공식은 \(V = a\cdot b\cdot h\)로 단순해집니다.
윗면이 한 점으로 줄어들면? \(a=0\), \(b=0\)으로 두면 완전한 사각뿔이 되고, 공식은 \(V = \frac{A\cdot B\cdot h}{3}\)을 돌려줍니다.
높이가 0이어도 되나요? 높이가 0이면 입체가 납작한 평면 도형으로 무너지므로 부피는 0이 됩니다. 실제 입체를 다루려면 양수인 높이를 사용하세요.
