Dikdörtgen kesik piramit (obelisk) nedir?
Dikdörtgen kesik piramit, bir dikdörtgen piramidin tepesini tabana paralel bir düzlemle kestiğinizde ortaya çıkan cisimdir. Geriye, farklı boyutlardaki iki paralel dikdörtgen yüz ile bunları birleştiren dört eğik yamuk yüzey kalır. Klasik geometride bu şekil obelisk olarak adlandırılır ve prizmatoidler ailesine girer. Üst dikdörtgenin kenarları a ve b; alt dikdörtgenin kenarları ise A ve B'dir; burada a kenarı A'ya, b kenarı da B'ye paraleldir. İki yüz, aralarındaki dik yükseklik h kadar mesafeyle birbirine paralel düzlemlerde yer alır.
Formülün açıklaması
Üst ve alt yüzlerin en-boy oranlarının aynı olması gerekmediği için, basit "kesik piramit" formülü her durumu kapsayacak kadar genel değildir. Bunun yerine prizmatoid kuralını kullanırız:
$$V = \frac{\text{h}}{6}\left(S_{\text{üst}} + 4\cdot S_{\text{orta}} + S_{\text{alt}}\right)$$Burada \(S_{\text{üst}} = \text{a}\cdot\text{b}\), \(S_{\text{alt}} = \text{A}\cdot\text{B}\)'dir ve \(S_{\text{orta}}\), yarı yükseklikteki kesitin alanıdır. Bu orta kesit, kenarları ilgili üst ve alt kenarların ortalaması olan bir dikdörtgendir; dolayısıyla \(S_{\text{orta}} = \frac{\text{a}+\text{A}}{2}\cdot\frac{\text{b}+\text{B}}{2}\). Bu değerleri yerine koyup sadeleştirdiğimizde derli toplu obelisk formülünü elde ederiz: $$V = \frac{\text{h}}{6}\left[\left(2\,\text{a} + \text{A}\right)\text{b} + \left(2\,\text{A} + \text{a}\right)\text{B}\right]$$
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
İki üst kenarı (a ve b), iki alt kenarı (A ve B) ve yükseklik h değerini girin. Beş uzunluğun tamamı aynı birimde olmalıdır; hacim de o birimin küpü olarak çıkar. Birim dönüşümü yapılmaz; yani santimetreyle çalışıyorsanız sonuç santimetreküp cinsindendir. Ölçeği değiştirmek için her uzunluğu aynı s katsayısıyla çarpın; o zaman hacim \(s^3\) oranında değişir.
Çözümlü örnek
\(a=3\), \(b=2\), \(A=4\), \(B=3\), \(h=2\) olsun: \((2\cdot 3+4)\cdot 2 = 20\) ve \((2\cdot 4+3)\cdot 3 = 33\), toplamda 53 eder. Buradan $$V = \frac{2}{6}\cdot 53 = 17{,}6667 \text{ birimküp}$$ bulunur. Prizmatoid formülüyle kontrol edelim: \(S_{\text{üst}}=6\), \(S_{\text{alt}}=12\), \(S_{\text{orta}}=3{,}5\cdot 2{,}5=8{,}75\), dolayısıyla \(V=\frac{2}{6}(6+35+12)=17{,}6667\). İki yöntem de aynı sonucu veriyor.
Sıkça Sorulan Sorular
Üst ve alt yüz eşitse ne olur? \(a=A\) ve \(b=B\) olduğunda cisim sıradan bir dikdörtgenler prizması (kutu) hâline gelir ve formül \(V = \text{a}\cdot\text{b}\cdot\text{h}\)'a iner.
Üst yüz bir noktaya küçülürse ne olur? \(a=0\) ve \(b=0\) alındığında tam bir dikdörtgen piramit elde edilir ve formül \(V = \frac{\text{A}\cdot\text{B}\cdot\text{h}}{3}\) sonucunu verir.
Yükseklik sıfır olabilir mi? Yükseklik 0 olduğunda cisim düz bir şekle indirgenir, dolayısıyla hacim 0 olur. Gerçek bir cisim için pozitif bir yükseklik kullanın.
