¿Qué es un tronco de pirámide rectangular (obelisco)?
Un tronco de pirámide rectangular es el sólido que se obtiene al cortar la punta de una pirámide rectangular mediante un plano paralelo a la base. El resultado son dos caras rectangulares paralelas de distinto tamaño, unidas por cuatro caras laterales trapezoidales inclinadas. En la geometría clásica esta figura recibe el nombre de obelisco y forma parte de la familia de los prismatoides. El rectángulo superior tiene lados a y b; el rectángulo inferior tiene lados A y B, con a paralelo a A y b paralelo a B. Ambas caras se sitúan en planos paralelos separados por la altura perpendicular h.
La fórmula explicada
Como las caras superior e inferior no tienen por qué compartir la misma proporción, la sencilla fórmula del "tronco de pirámide" no es lo bastante general. Por eso recurrimos a la regla del prismatoide:
$$V = \frac{h}{6}\left(S_{\text{sup}} + 4\cdot S_{\text{med}} + S_{\text{inf}}\right)$$
Aquí \(S_{\text{sup}} = a\cdot b\), \(S_{\text{inf}} = A\cdot B\), y \(S_{\text{med}}\) es el área de la sección transversal a media altura. Esa sección intermedia es a su vez un rectángulo cuyos lados son los promedios de los lados correspondientes de arriba y abajo, de modo que \(S_{\text{med}} = \frac{a+A}{2}\cdot\frac{b+B}{2}\). Al sustituir y simplificar se llega a la forma compacta del obelisco: $$V = \frac{h}{6}\left[\left(2a + A\right)b + \left(2A + a\right)B\right]$$
Cómo usar esta calculadora
Introduce los dos lados superiores (a y b), los dos lados inferiores (A y B) y la altura h. Las cinco longitudes deben expresarse en la misma unidad; el volumen se obtiene en esa unidad al cubo. No hay conversión de unidades, así que si trabajas en centímetros el resultado vendrá en centímetros cúbicos. Para reescalar la figura, multiplica todas las longitudes por el mismo factor s y el volumen se multiplicará por \(s^3\).
Ejemplo resuelto
Con \(a=3\), \(b=2\), \(A=4\), \(B=3\), \(h=2\): \((2\cdot 3+4)\cdot 2 = 20\), y \((2\cdot 4+3)\cdot 3 = 33\), que suman \(53\). Entonces $$V = \frac{2}{6}\cdot 53 = 17{,}6667 \text{ unidades cúbicas}$$ Comprobándolo con la forma del prismatoide: \(S_{\text{sup}}=6\), \(S_{\text{inf}}=12\), \(S_{\text{med}}=3{,}5\cdot 2{,}5=8{,}75\), de modo que \(V=\frac{2}{6}(6+35+12)=17{,}6667\). Ambos métodos coinciden.
Preguntas frecuentes
¿Y si la cara superior y la inferior son iguales? Si \(a=A\) y \(b=B\), el sólido no es más que un prisma rectangular (una caja) y la fórmula se reduce a \(V = a\cdot b\cdot h\).
¿Y si la cara superior se reduce a un punto? Al hacer \(a=0\) y \(b=0\) se obtiene una pirámide rectangular completa, y la fórmula devuelve \(V = \frac{A\cdot B\cdot h}{3}\).
¿Puede la altura valer cero? Una altura de 0 hace que el sólido se aplaste en una figura plana, por lo que el volumen es 0. Para un sólido real usa siempre una altura positiva.
