什么是长方棱台（方尖锥台）？
长方棱台是用一个与底面平行的平面把长方棱锥的顶部切掉后得到的立体，它有两个大小不同、相互平行的矩形面，由四个倾斜的梯形侧面连接起来。在古典几何里，这种形状被称为方尖锥台（obelisk），属于拟柱体（prismatoid）家族。上矩形的边长为 \(a\) 和 \(b\)，下矩形的边长为 \(A\) 和 \(B\)，其中 \(a\) 与 \(A\) 平行、\(b\) 与 \(B\) 平行。两个面分别位于两个平行平面内，二者之间的垂直距离即为高 \(h\)。
公式详解
由于上、下两个面的长宽比不一定相同，普通的“截顶棱锥”公式并不通用。因此我们采用拟柱体公式：
$$V = \frac{h}{6}\left(S_{\text{顶}} + 4\cdot S_{\text{中}} + S_{\text{底}}\right)$$
其中 \(S_{\text{顶}} = a\cdot b\)，\(S_{\text{底}} = A\cdot B\)，而 \(S_{\text{中}}\) 是位于高度一半处的横截面面积。这个中间截面同样是一个矩形，其边长分别等于上、下对应边长的平均值，所以 \(S_{\text{中}} = \left(\frac{a+A}{2}\right)\cdot\left(\frac{b+B}{2}\right)\)。代入并化简后，可得到简洁的方尖锥台公式：$$V = \frac{h}{6}\left[\left(2\,a + A\right)b + \left(2\,A + a\right)B\right]$$
如何使用本计算器
输入上底的两条边长（\(a\) 和 \(b\)）、下底的两条边长（\(A\) 和 \(B\)）以及高 \(h\)。这五个长度必须使用同一单位，得到的体积单位即为该长度单位的立方。计算器不做单位换算，因此如果你以厘米为单位输入，结果就是立方厘米。若要按比例缩放，只需将所有长度乘以同一系数 \(s\)，体积便会按 \(s^3\) 缩放。
实例演算
设 \(a=3\)、\(b=2\)、\(A=4\)、\(B=3\)、\(h=2\)：\((2\cdot 3+4)\cdot 2 = 20\)，\((2\cdot 4+3)\cdot 3 = 33\)，两者相加为 \(53\)。于是 $$V = \frac{2}{6}\cdot 53 = 17.6667 \text{ 立方单位}$$ 再用拟柱体公式验证：\(S_{\text{顶}}=6\)，\(S_{\text{底}}=12\)，\(S_{\text{中}}=3.5\cdot 2.5=8.75\)，所以 $$V = \frac{2}{6}\left(6+35+12\right)=17.6667$$ 两种方法结果一致。
常见问题
如果上底和下底相等会怎样？当 \(a=A\)、\(b=B\) 时，这个立体就是一个长方体，公式简化为 \(V = a\cdot b\cdot h\)。
如果上底收缩成一个点呢？令 \(a=0\)、\(b=0\) 时，立体变为一个完整的长方棱锥，公式得出 \(V = \frac{A\cdot B\cdot h}{3}\)。
高可以为 0 吗？高为 0 时，立体会塌缩成一个平面图形，体积为 0。要得到真正的立体，请使用正的高度。
