आयताकार फ्रस्टम (ओबिलिस्क) क्या है?
जब किसी आयताकार पिरामिड के ऊपरी हिस्से को आधार के समानांतर काट दिया जाता है, तो जो ठोस आकृति बचती है, उसे आयताकार फ्रस्टम कहते हैं। इसमें दो समानांतर आयताकार सतहें होती हैं जो आकार में अलग-अलग होती हैं और चार ढलवाँ समलंब (ट्रेपीज़ॉइडल) फलकों से जुड़ी रहती हैं। शास्त्रीय ज्यामिति में इस आकृति को ओबिलिस्क कहा जाता है और यह प्रिज़्मेटॉइड परिवार से संबंधित है। ऊपरी आयत की भुजाएँ \(a\) और \(b\) हैं; निचले आयत की भुजाएँ \(A\) और \(B\) हैं, जहाँ \(a\), \(A\) के समानांतर है और \(b\), \(B\) के समानांतर है। दोनों सतहें समानांतर तलों में होती हैं जिनके बीच लंबवत ऊँचाई \(h\) होती है।
सूत्र की व्याख्या
चूँकि ऊपरी और निचली सतहों का अनुपात (एस्पेक्ट रेशियो) एक जैसा होना ज़रूरी नहीं है, इसलिए सामान्य "कटे हुए पिरामिड" वाला सूत्र यहाँ हर स्थिति में काम नहीं करता। इसके बजाय हम प्रिज़्मेटॉइड नियम का उपयोग करते हैं:
$$V = \frac{h}{6}\left(S_{top} + 4\cdot S_{mid} + S_{bottom}\right)$$
यहाँ \(S_{top} = a\cdot b\), \(S_{bottom} = A\cdot B\), और \(S_{mid}\) ठीक बीच की ऊँचाई पर अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल है। बीच का यह भाग भी एक आयत होता है जिसकी भुजाएँ संगत ऊपरी और निचली भुजाओं के औसत के बराबर होती हैं, यानी \(S_{mid} = \left(\frac{a+A}{2}\right)\cdot\left(\frac{b+B}{2}\right)\)। इन्हें रखकर सरल करने पर ओबिलिस्क का संक्षिप्त रूप मिलता है: $$V = \frac{h}{6}\left[\left(2\,a + A\right)b + \left(2\,A + a\right)B\right]$$।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
दोनों ऊपरी भुजाएँ (\(a\) और \(b\)), दोनों निचली भुजाएँ (\(A\) और \(B\)), और ऊँचाई \(h\) दर्ज करें। पाँचों लंबाइयाँ एक ही इकाई में होनी चाहिए; आयतन उसी इकाई के घन में मिलेगा। यहाँ कोई इकाई-रूपांतरण नहीं होता, इसलिए यदि आप सेंटीमीटर में काम करते हैं तो परिणाम घन सेंटीमीटर में आएगा। आकृति को बड़ा या छोटा करने के लिए हर लंबाई को समान गुणक \(s\) से गुणा करें — आयतन \(s^3\) गुना बदल जाएगा।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(a=3\), \(b=2\), \(A=4\), \(B=3\), \(h=2\): तब \((2\cdot 3+4)\cdot 2 = 20\), और \((2\cdot 4+3)\cdot 3 = 33\), जिनका योग 53 है। अतः \(V = \frac{2}{6}\cdot 53 = 17.6667\) घन इकाई। प्रिज़्मेटॉइड रूप से जाँच करें: \(S_{top}=6\), \(S_{bottom}=12\), \(S_{mid}=3.5\cdot 2.5=8.75\), इसलिए \(V=\frac{2}{6}(6+35+12)=17.6667\)। दोनों विधियों के परिणाम समान हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि ऊपरी और निचली सतहें बराबर हों तो? यदि \(a=A\) और \(b=B\) हो, तो यह ठोस केवल एक आयताकार बक्सा (घनाभ) बन जाता है और सूत्र घटकर \(V = a\cdot b\cdot h\) रह जाता है।
यदि ऊपरी सतह सिकुड़कर एक बिंदु बन जाए तो? \(a=0\) और \(b=0\) रखने पर एक पूर्ण आयताकार पिरामिड बनता है, और सूत्र \(V = \frac{A\cdot B\cdot h}{3}\) देता है।
क्या ऊँचाई शून्य हो सकती है? 0 ऊँचाई पर ठोस आकृति चपटी होकर समतल बन जाती है, इसलिए आयतन 0 होता है। वास्तविक ठोस के लिए धनात्मक ऊँचाई का उपयोग करें।
