Qu'est-ce qu'un tronc de pyramide rectangulaire (obélisque) ?
Un tronc de pyramide rectangulaire est le solide obtenu lorsqu'on coupe le sommet d'une pyramide à base rectangulaire par un plan parallèle à la base. Il reste alors deux faces rectangulaires parallèles de tailles différentes, reliées par quatre faces latérales trapézoïdales inclinées. En géométrie classique, cette forme porte le nom d'obélisque et appartient à la famille des prismatoïdes. Le rectangle du haut a pour côtés \(a\) et \(b\) ; le rectangle du bas a pour côtés \(A\) et \(B\), avec \(a\) parallèle à \(A\) et \(b\) parallèle à \(B\). Les deux faces reposent dans des plans parallèles séparés par la hauteur perpendiculaire \(h\).
La formule expliquée
Comme les faces du haut et du bas ne partagent pas forcément le même rapport de proportions, la simple formule du « tronc de pyramide » n'est pas assez générale. On utilise plutôt la règle du prismatoïde :
$$V = \frac{h}{6}\left(S_\text{haut} + 4\cdot S_\text{milieu} + S_\text{bas}\right)$$Ici, \(S_\text{haut} = a\cdot b\), \(S_\text{bas} = A\cdot B\), et \(S_\text{milieu}\) est l'aire de la section transversale à mi-hauteur. Cette section centrale est elle-même un rectangle dont les côtés correspondent aux moyennes des côtés du haut et du bas, d'où \(S_\text{milieu} = \frac{a+A}{2}\cdot\frac{b+B}{2}\). En substituant puis en simplifiant, on obtient la forme compacte de l'obélisque :
$$V = \frac{h}{6}\left[\left(2a + A\right)b + \left(2A + a\right)B\right]$$Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les deux côtés du haut (\(a\) et \(b\)), les deux côtés du bas (\(A\) et \(B\)), ainsi que la hauteur \(h\). Les cinq longueurs doivent être exprimées dans la même unité ; le volume s'obtient alors dans cette unité au cube. Aucune conversion d'unité n'est effectuée : si vous travaillez en centimètres, le résultat est en centimètres cubes. Pour changer d'échelle, multipliez chaque longueur par un même facteur \(s\) et le volume sera multiplié par \(s^3\).
Exemple résolu
Avec \(a=3\), \(b=2\), \(A=4\), \(B=3\), \(h=2\) : \((2\cdot 3+4)\cdot 2 = 20\), et \((2\cdot 4+3)\cdot 3 = 33\), soit une somme de \(53\). On a alors $$V = \frac{2}{6}\cdot 53 = 17{,}6667 \text{ unités cubes.}$$ Vérification avec la forme du prismatoïde : \(S_\text{haut}=6\), \(S_\text{bas}=12\), \(S_\text{milieu}=3{,}5\cdot 2{,}5=8{,}75\), d'où \(V=\frac{2}{6}(6+35+12)=17{,}6667\). Les deux méthodes concordent.
FAQ
Que se passe-t-il si le haut et le bas sont identiques ? Si \(a=A\) et \(b=B\), le solide n'est rien d'autre qu'un parallélépipède rectangle et la formule se réduit à \(V = a\cdot b\cdot h\).
Que se passe-t-il si le haut se réduit à un point ? En posant \(a=0\) et \(b=0\), on obtient une pyramide rectangulaire complète, et la formule donne \(V = \frac{A\cdot B\cdot h}{3}\).
La hauteur peut-elle être nulle ? Une hauteur de \(0\) aplatit le solide en une forme plane : le volume est donc nul. Utilisez une hauteur positive pour obtenir un véritable solide.
