Hình chóp cụt chữ nhật (obelisk) là gì?
Hình chóp cụt chữ nhật là khối hình bạn nhận được khi cắt phần đỉnh của một hình chóp đáy chữ nhật bằng một mặt phẳng song song với đáy. Kết quả là hai mặt chữ nhật song song có kích thước khác nhau, nối với nhau bởi bốn mặt bên hình thang nghiêng. Trong hình học cổ điển, khối này được gọi là obelisk và thuộc họ prismatoid (khối lăng trụ tổng quát). Mặt trên có hai cạnh \(a\) và \(b\); mặt đáy có hai cạnh \(A\) và \(B\), trong đó \(a\) song song với \(A\) và \(b\) song song với \(B\). Hai mặt nằm trên hai mặt phẳng song song, cách nhau bởi chiều cao vuông góc \(h\).
Giải thích công thức
Vì mặt trên và mặt đáy không nhất thiết phải có cùng tỉ lệ hình dạng, nên công thức "hình chóp cụt" đơn giản không đủ tổng quát. Thay vào đó, ta dùng quy tắc prismatoid:
$$V = \frac{h}{6}\left(S_{\text{trên}} + 4\cdot S_{\text{giữa}} + S_{\text{đáy}}\right)$$
Ở đây \(S_{\text{trên}} = a\cdot b\), \(S_{\text{đáy}} = A\cdot B\), còn \(S_{\text{giữa}}\) là diện tích thiết diện cắt ngang tại nửa chiều cao. Thiết diện giữa cũng là một hình chữ nhật có các cạnh bằng trung bình cộng của các cạnh tương ứng ở mặt trên và mặt đáy, nên \(S_{\text{giữa}} = \frac{a+A}{2}\cdot\frac{b+B}{2}\). Thay vào và rút gọn, ta được dạng obelisk gọn gàng: $$V = \frac{h}{6}\left[\left(2a + A\right)b + \left(2A + a\right)B\right]$$
Cách sử dụng công cụ tính này
Nhập hai cạnh mặt trên (\(a\) và \(b\)), hai cạnh mặt đáy (\(A\) và \(B\)), và chiều cao \(h\). Cả năm độ dài phải cùng một đơn vị; thể tích sẽ được tính theo đơn vị đó lập phương. Công cụ không tự đổi đơn vị, vì vậy nếu bạn nhập theo centimét thì kết quả là centimét khối. Muốn đổi tỉ lệ, hãy nhân mọi độ dài với cùng một hệ số \(s\), khi đó thể tích sẽ tăng theo \(s^3\).
Ví dụ minh họa
Với \(a=3\), \(b=2\), \(A=4\), \(B=3\), \(h=2\): \((2\cdot3+4)\cdot2 = 20\), và \((2\cdot4+3)\cdot3 = 33\), cộng lại được \(53\). Khi đó $$V = \frac{2}{6}\cdot53 = 17{,}6667 \text{ đơn vị khối}$$ Kiểm tra lại bằng dạng prismatoid: \(S_{\text{trên}}=6\), \(S_{\text{đáy}}=12\), \(S_{\text{giữa}}=3{,}5\cdot2{,}5=8{,}75\), nên \(V=\frac{2}{6}(6+35+12)=17{,}6667\). Hai cách cho kết quả trùng khớp.
Câu hỏi thường gặp
Nếu mặt trên và mặt đáy bằng nhau thì sao? Nếu \(a=A\) và \(b=B\), khối hình chỉ đơn thuần là một hình hộp chữ nhật và công thức rút gọn thành \(V = a\cdot b\cdot h\).
Nếu mặt trên thu nhỏ thành một điểm thì sao? Đặt \(a=0\) và \(b=0\) ta được một hình chóp chữ nhật đầy đủ, và công thức trả về \(V = \frac{A\cdot B\cdot h}{3}\).
Chiều cao có thể bằng 0 không? Chiều cao bằng 0 sẽ làm khối hình xẹp thành một hình phẳng, nên thể tích bằng 0. Hãy dùng chiều cao dương để có một khối hình thực sự.
