ما هو المجسم الناقص المستطيل (المسلّة)؟
المجسم الناقص المستطيل هو الشكل المجسم الذي نحصل عليه عند قطع قمة هرم مستطيل القاعدة بمستوٍ موازٍ للقاعدة، فيتبقّى لدينا وجهان مستطيلان متوازيان مختلفان في الحجم يربط بينهما أربعة أوجه جانبية مائلة على شكل أشباه منحرفات. في الهندسة الكلاسيكية يُسمّى هذا الشكل المسلّة (Obelisk)، وهو ينتمي إلى عائلة أشباه المنشورات (Prismatoids). للمستطيل العلوي ضلعان \(a\) و \(b\)، وللمستطيل السفلي ضلعان \(A\) و \(B\)، حيث يكون \(a\) موازيًا لـ \(A\) و \(b\) موازيًا لـ \(B\). ويقع الوجهان في مستويين متوازيين يفصل بينهما الارتفاع العمودي \(h\).
شرح الصيغة
بما أنّ الوجهين العلوي والسفلي لا يلزم أن يكون لهما النسبة الباعية نفسها، فإنّ صيغة «الهرم المقطوع» البسيطة ليست عامة بما يكفي. لذلك نستخدم قاعدة شبه المنشور:
$$V = \frac{h}{6}\left(S_{\text{top}} + 4\cdot S_{\text{mid}} + S_{\text{bottom}}\right)$$حيث \(S_{\text{top}} = a\cdot b\)، و \(S_{\text{bottom}} = A\cdot B\)، أمّا \(S_{\text{mid}}\) فهي مساحة المقطع العرضي عند منتصف الارتفاع. وهذا المقطع الأوسط مستطيل بحدّ ذاته، أضلاعه هي متوسطات الأضلاع العلوية والسفلية المتناظرة، أي \(S_{\text{mid}} = \left(\frac{a+A}{2}\right)\cdot\left(\frac{b+B}{2}\right)\). وبالتعويض والتبسيط نحصل على صيغة المسلّة المختصرة: $$V = \frac{h}{6}\left[\left(2\,a + A\right)b + \left(2\,A + a\right)B\right]$$
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ضلعَي القمة (\(a\) و \(b\))، وضلعَي القاعدة (\(A\) و \(B\))، والارتفاع \(h\). يجب أن تكون الأطوال الخمسة جميعها بالوحدة نفسها، وعندها يظهر الحجم بمكعّب تلك الوحدة. لا توجد أي تحويلات بين الوحدات، فإذا أدخلت القياسات بالسنتيمترات تكون النتيجة بالسنتيمترات المكعّبة. ولإعادة التحجيم، اضرب كل طول بالعامل نفسه \(s\) فيتغيّر الحجم بمقدار \(s^3\).
مثال محلول
لتكن القيم \(a=3\) و \(b=2\) و \(A=4\) و \(B=3\) و \(h=2\): نحسب \((2\cdot 3+4)\cdot 2 = 20\)، و \((2\cdot 4+3)\cdot 3 = 33\)، ومجموعهما \(53\). ومنه $$V = \frac{2}{6}\cdot 53 = 17.6667 \text{ وحدة مكعّبة}$$ ولنتحقق باستخدام صيغة شبه المنشور: \(S_{\text{top}}=6\)، و \(S_{\text{bottom}}=12\)، و \(S_{\text{mid}}=3.5\cdot 2.5=8.75\)، فيكون \(V=\frac{2}{6}(6+35+12)=17.6667\). وهكذا تتطابق الطريقتان.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو تساوت القمة والقاعدة؟ إذا كان \(a=A\) و \(b=B\) فإنّ المجسم يصبح مجرّد صندوق مستطيل، وتتبسّط الصيغة إلى \(V = a\cdot b\cdot h\).
ماذا لو تقلّصت القمة إلى نقطة؟ بوضع \(a=0\) و \(b=0\) نحصل على هرم مستطيل كامل، وتُعيد الصيغة \(V = \frac{A\cdot B\cdot h}{3}\).
هل يمكن أن يكون الارتفاع صفرًا؟ الارتفاع المساوي للصفر يجعل المجسم ينهار إلى شكل مسطّح، فيكون الحجم \(0\). استخدم ارتفاعًا موجبًا للحصول على مجسم حقيقي.
