Что такое усечённая пирамида?
Усечённая пирамида — это тело, которое остаётся от пирамиды, если отсечь её вершину плоскостью, параллельной основанию. У неё два параллельных основания: меньшее верхнее и большее нижнее, представляющие собой подобные многоугольники (квадраты, прямоугольники, треугольники, шестиугольники и так далее). Этот калькулятор сразу находит объём тела по площадям двух оснований и расстоянию между ними (высоте).
Как пользоваться калькулятором
Введите три величины: площадь верхнего основания (\(S_1\)), площадь нижнего основания (\(S_2\)) и высоту (\(h\)). Используйте единицы измерения, согласованные между собой. Если площади заданы в квадратных сантиметрах, а высота — в сантиметрах, то объём получится в кубических сантиметрах. Калькулятор не пересчитывает единицы автоматически, поэтому проследите, чтобы единица длины для высоты в квадрате совпадала с единицей, в которой выражены площади. Все значения должны быть неотрицательными.
Разбор формулы
Объём вычисляется по формуле $$V = \frac{\text{Height }(h)}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1\cdot S_2}\right)$$ Это частный случай формулы призматоида. Первые два слагаемых — это площади верхнего и нижнего оснований; третье слагаемое, среднее геометрическое \(\sqrt{S_1\cdot S_2}\), учитывает сечение, которое плавно изменяется между основаниями. Если площади оснований равны (\(S_1 = S_2 = S\)), формула превращается в \(V = h\cdot S\) — объём призмы. Если верхнее основание стягивается в точку (\(S_1 = 0\)), получаем \(V = \frac{h}{3}S_2\) — объём полной пирамиды.
Пример расчёта
Пусть площадь верхнего основания равна 1, нижнего — 3, а высота равна 2. Слагаемое со средним геометрическим: \(\sqrt{1\cdot 3} = \sqrt{3} \approx 1{,}7320508\). Тогда $$V = \frac{2}{3}(1 + 3 + 1{,}7320508) = \frac{2}{3}(5{,}7320508) \approx 3{,}8213672 \text{ кубических единиц.}$$
Частые вопросы
Подходит ли калькулятор для пирамиды любой формы? Да — для квадратной, прямоугольной, треугольной или любой другой усечённой пирамиды, лишь бы верхнее и нижнее основания были параллельны и подобны друг другу.
Что делать, если известны только длины сторон, а не площади? Сначала вычислите площадь каждого основания (например, сторона \(\times\) сторона для квадрата), а затем введите полученные площади в калькулятор.
Почему в формуле есть квадратный корень? Слагаемое \(\sqrt{S_1\cdot S_2}\) — это среднее геометрическое площадей двух оснований, отражающее плавно меняющееся сечение между ними. Именно оно делает формулу призматоида точной для усечённой пирамиды.
