यूनिट सर्कल कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

कोण

कोण की इकाई Degrees Radians

परिणाम

यूनिट सर्कल पर निर्देशांक

(0.7071, 0.7071)

(cos θ, sin θ)

cos θ (x)	0.707107
sin θ (y)	0.707107
tan θ	1
कोण (डिग्री)	45°
कोण (रेडियन)	0.785398

यूनिट सर्कल कैलकुलेटर क्या है?

यूनिट सर्कल वह वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 होती है और जिसका केंद्र मूल बिंदु (0, 0) पर होता है। धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त (counterclockwise) दिशा में मापे गए किसी भी कोण \(\theta\) के लिए, वह बिंदु जहाँ कोण की अंतिम किरण वृत्त से मिलती है, उसके निर्देशांक \((\cos\theta,\ \sin\theta)\) होते हैं। यह कैलकुलेटर आपके द्वारा डिग्री या रेडियन में दर्ज किसी भी कोण के लिए वह बिंदु तुरंत बताता है, साथ ही \(\cos\theta\), \(\sin\theta\) और \(\tan\theta\) के मान भी देता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपना कोण दर्ज करें, फिर चुनें कि वह डिग्री में है या रेडियन में। कैलकुलेटर आवश्यकतानुसार रूपांतरण कर देता है और x-निर्देशांक (\(\cos\theta\)), y-निर्देशांक (\(\sin\theta\)), स्पर्शज्या यानी tangent (\(y/x\)), तथा कोण को दोनों इकाइयों में दिखाता है। कोण ऋणात्मक हो सकते हैं या 360° से बड़े भी — त्रिकोणमितीय फलन वृत्त के चारों ओर अपने आप घूम जाते हैं।

सूत्र की व्याख्या

चूँकि त्रिज्या 1 है, इसलिए समकोण त्रिभुज की बुनियादी त्रिकोणमिति सरल होकर इन साफ़ पहचानों में बदल जाती है: \(x = \cos\theta\) और \(y = \sin\theta\)।

$$(x,\,y) = \left( \cos\theta,\; \sin\theta \right), \quad \theta = \text{Angle} \times \frac{\pi}{180}$$

स्पर्शज्या (tangent) अनुपात \(y/x = \sin\theta / \cos\theta\) के बराबर होती है, जो अंतिम किरण की ढलान (slope) को दर्शाती है। जब \(\cos\theta = 0\) हो (अर्थात 90° और 270° पर), तब स्पर्शज्या अपरिभाषित (undefined) रहती है क्योंकि किरण ऊर्ध्वाधर होती है।

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इकाई वृत्त पर कोण \(\theta\) वाले बिंदु के निर्देशांक \((\cos\theta,\ \sin\theta)\) होते हैं।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(\theta = 45°\): \(\cos 45° = \sqrt{2}/2 \approx 0.7071\) और \(\sin 45° = \sqrt{2}/2 \approx 0.7071\), इसलिए बिंदु \((0.7071,\ 0.7071)\) होगा। स्पर्शज्या होगी

$$\frac{0.7071}{0.7071} = 1$$

यह यूनिट सर्कल के प्रसिद्ध मान से मेल खाता है, जहाँ 45° की किरण पहले चतुर्थांश (quadrant) को ठीक बीच में बाँटती है।

\(\cos\theta\) और \(\sin\theta\) के चिह्न चारों चतुर्थांशों में बदलते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यूनिट सर्कल पर कोई बिंदु क्या दर्शाता है? हर बिंदु \((\cos\theta,\ \sin\theta)\) कोण \(\theta\) पर एक इकाई-लंबाई वाली दिशा के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों को दिखाता है।

\(\tan\theta\) कभी-कभी खाली या NaN क्यों दिखता है? 90° और 270° पर कोसाइन शून्य हो जाता है, इसलिए उससे भाग देने पर स्पर्शज्या अपरिभाषित हो जाती है।

क्या मैं 360° से अधिक के कोण दर्ज कर सकता हूँ? हाँ। साइन और कोसाइन फलन आवर्ती (periodic) होते हैं, इसलिए 405° का परिणाम 45° जैसा ही आता है।