Qu'est-ce que la norme d'un vecteur ?
La norme d'un vecteur — notée \(\lVert \vec{v} \rVert\) — correspond à sa longueur, c'est-à-dire la distance en ligne droite entre son origine et son extrémité. Il s'agit toujours d'un nombre positif ou nul, indépendant de la direction du vecteur. Ce calculateur détermine la norme d'un vecteur à partir de ses composantes, en deux ou trois dimensions.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez d'abord si votre vecteur est en 2D ou en 3D. Saisissez ensuite les composantes x et y (ainsi que z pour un vecteur 3D). Les composantes peuvent être positives, négatives ou nulles. Le calculateur élève chaque composante au carré, additionne les résultats, puis en extrait la racine carrée pour renvoyer la norme.
La formule expliquée
Cette formule prolonge directement le théorème de Pythagore. En 2D, $$\lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2}}$$ En 3D, on ajoute un troisième terme au carré : $$\lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{\text{x}^{2} + \text{y}^{2} + \text{z}^{2}}$$ L'élévation au carré annule l'effet des signes négatifs, ce qui garantit un résultat toujours positif. La somme des carrés est affichée à côté de la réponse afin que vous puissiez vérifier chaque étape.
Exemple détaillé
Prenons le vecteur 3D \(\vec{v} = (3, 4, 12)\). Élevons chaque composante au carré : \(9 + 16 + 144 = 169\). La norme vaut donc $$\sqrt{169} = 13$$ Un exemple célèbre en 2D est \((3, 4)\) : \(9 + 16 = 25\), d'où $$\lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{25} = 5$$
Questions fréquentes
La norme peut-elle être négative ? Non. Comme il s'agit de la racine carrée d'une somme de carrés, la norme est toujours nulle ou positive. Elle n'est nulle que pour le vecteur nul.
Quelle est l'unité du résultat ? La norme s'exprime dans la même unité que les composantes. Si x, y et z sont en mètres, la norme est elle aussi en mètres.
La direction a-t-elle une importance ? Non. La norme ne mesure que la longueur. Deux vecteurs orientés en sens opposés peuvent avoir la même norme.
