¿Qué son la suma y la diferencia de cubos?
Dos de las identidades algebraicas más útiles son la suma de cubos y la diferencia de cubos. Permiten reescribir una expresión de la forma \(a^3 \pm b^3\) como el producto de un sencillo factor lineal y un trinomio cuadrático. Esta calculadora factoriza cualquier par de valores a y b para ambas operaciones y muestra cada pieza intermedia para que puedas comprobar tu propio trabajo.
Las fórmulas
Las dos identidades son:
Suma de cubos:
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$Diferencia de cubos:
$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$Un truco útil para recordarlas es la regla "SOAP" (por sus siglas en inglés): los signos de la forma factorizada son Same (igual), Opposite (opuesto) y Always Positive (siempre positivo). El primer signo coincide con el de la expresión original, el del medio es el opuesto y el último término siempre es positivo.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el primer término a y el segundo término b, elige si vas a factorizar una suma o una diferencia, y la calculadora te devolverá el factor lineal \((a \pm b)\), el factor trinomio \((a^2 \mp ab + b^2)\) y el valor numérico de toda la expresión. La tabla de desglose muestra \(a^3\), \(b^3\), \(a^2\), \(ab\) y \(b^2\) por separado.
Ejemplo resuelto
Vamos a factorizar \(8 + 27\) como una suma de cubos. Aquí \(a = 2\) (porque \(2^3 = 8\)) y \(b = 3\) (porque \(3^3 = 27\)). Entonces
$$a^3 + b^3 = (2 + 3)(2^2 - 2\cdot 3 + 3^2) = (5)(4 - 6 + 9) = 5 \times 7 = 35,$$que coincide con \(8 + 27 = 35\). El factor lineal es 5 y el factor trinomio es 7.
Preguntas frecuentes
¿Se puede factorizar más el trinomio? Por lo general no: en la mayoría de los casos el cuadrático \(a^2 \mp ab + b^2\) es primo sobre los enteros.
¿Y si a o b son variables? La identidad sigue siendo válida de forma simbólica; esta herramienta evalúa valores numéricos para que puedas verificar tus factorizaciones.
¿Funciona con números negativos o decimales? Sí. Se admiten cualesquiera números reales para a y b.
