ما المقصود بمجموع وفرق المكعبات؟
من أكثر المتطابقات الجبرية فائدةً متطابقتا مجموع المكعبات وفرق المكعبات. فهما تتيحان لك إعادة كتابة أي مقدار على الصورة \(a^{3} \pm b^{3}\) كحاصل ضرب عامل خطي بسيط في مقدار ثلاثي تربيعي. تحلّل هذه الحاسبة أي زوج من القيم a وb لأيٍّ من العمليتين، وتعرض كل خطوة وسيطة حتى تتمكن من مراجعة حلّك بنفسك.
الصيغ الرياضية
المتطابقتان هما:
مجموع المكعبات:
$$a^{3} + b^{3} = \left(a + b\right)\left(a^{2} - a\,b + b^{2}\right)$$فرق المكعبات:
$$a^{3} - b^{3} = \left(a - b\right)\left(a^{2} + a\,b + b^{2}\right)$$هناك حيلة بسيطة لتذكّر الإشارات تُعرف بـ "SOAP" بالإنجليزية: الإشارة الأولى مماثلة (Same) لإشارة المقدار الأصلي، والإشارة الوسطى معاكسة (Opposite) لها، أما الحد الأخير فيكون موجبًا دائمًا (Always Positive).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الحد الأول a والحد الثاني b، ثم اختر ما إذا كنت تحلّل مجموعًا أم فرقًا، فتُعيد لك الحاسبة العامل الخطي \((a \pm b)\)، والعامل الثلاثي \((a^{2} \mp a\,b + b^{2})\)، والقيمة العددية للمقدار بأكمله. كما يعرض جدول التفصيل قيم \(a^{3}\) و\(b^{3}\) و\(a^{2}\) و\(ab\) و\(b^{2}\) كلًّا على حدة.
مثال محلول
لنحلّل المقدار \(8 + 27\) باعتباره مجموع مكعبين. هنا \(a = 2\) (لأن \(2^{3} = 8\)) و\(b = 3\) (لأن \(3^{3} = 27\)). إذن:
$$a^{3} + b^{3} = (2 + 3)(2^{2} - 2\cdot 3 + 3^{2}) = (5)(4 - 6 + 9) = 5 \times 7 = 35$$وهو ما يساوي \(8 + 27 = 35\). فالعامل الخطي هو 5 والعامل الثلاثي هو 7.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن تحليل المقدار الثلاثي إلى عوامل أبسط؟ غالبًا لا — فالمقدار التربيعي \(a^{2} \mp a\,b + b^{2}\) يكون أوّليًّا على مجموعة الأعداد الصحيحة في معظم الحالات.
ماذا لو كانت a أو b متغيرًا؟ تظل المتطابقة صحيحة رمزيًّا؛ غير أن هذه الأداة تتعامل مع القيم العددية لتمكّنك من التحقق من صحة التحليل.
هل تعمل مع الأعداد السالبة أو العشرية؟ نعم، تقبل الحاسبة أي أعداد حقيقية للقيمتين a وb.
