Calculateur de factorisation de la somme et de la différence de cubes

Entrez le calcul

Premier terme (a)

Second terme (b)

Opération Sum of cubes (a³ + b³) Difference of cubes (a³ − b³)

Résultats

Valeur numérique de l'expression

35

Forme factorisée : (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

Facteur linéaire (a ± b)	5
Facteur trinôme (a² ∓ ab + b²)	7
a³	8
b³	27
a²	4
ab	6
b²	9

Qu'est-ce que la somme et la différence de cubes ?

Parmi les identités algébriques les plus utiles figurent la somme de cubes et la différence de cubes. Elles permettent de réécrire une expression de la forme \(a^{3} \pm b^{3}\) comme le produit d'un facteur linéaire simple et d'un trinôme du second degré. Ce calculateur factorise n'importe quel couple de valeurs a et b, pour l'une ou l'autre opération, et affiche chaque étape intermédiaire afin que vous puissiez vérifier vos propres calculs.

Les formules

Les deux identités sont les suivantes :

Somme de cubes :

$$a^{3} + b^{3} = \left(a + b\right)\left(a^{2} - a\,b + b^{2}\right)$$

Différence de cubes :

$$a^{3} - b^{3} = \left(a - b\right)\left(a^{2} + a\,b + b^{2}\right)$$

Un moyen mnémotechnique anglo-saxon courant est « SOAP » : les signes de la forme factorisée sont Same (identique), Opposite (opposé), Always Positive (toujours positif). Autrement dit, le premier signe est le même que dans l'expression d'origine, le signe central est opposé, et le dernier terme est toujours positif.

Les deux identités du cube se factorisent en un binôme par un trinôme.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez votre premier terme a et votre second terme b, indiquez si vous factorisez une somme ou une différence, et le calculateur vous renvoie le facteur linéaire \(\left(a \pm b\right)\), le facteur trinôme \(\left(a^{2} \mp a\,b + b^{2}\right)\) ainsi que la valeur numérique de l'expression complète. Le tableau de décomposition détaille séparément \(a^{3}\), \(b^{3}\), \(a^{2}\), \(a\,b\) et \(b^{2}\).

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Exemple résolu

Factorisons \(8 + 27\) comme une somme de cubes. Ici \(a = 2\) (car \(2^{3} = 8\)) et \(b = 3\) (car \(3^{3} = 27\)). On a alors

$$a^{3} + b^{3} = \left(2 + 3\right)\left(2^{2} - 2 \cdot 3 + 3^{2}\right) = \left(5\right)\left(4 - 6 + 9\right) = 5 \times 7 = 35,$$

ce qui correspond bien à \(8 + 27 = 35\). Le facteur linéaire vaut \(5\) et le facteur trinôme vaut \(7\).

FAQ

Le trinôme peut-il être factorisé davantage ? En général, non : le trinôme \(a^{2} \mp a\,b + b^{2}\) est, dans la plupart des cas, premier sur l'ensemble des entiers.

Et si a ou b est une variable ? L'identité reste valable de manière symbolique ; cet outil évalue des valeurs numériques afin que vous puissiez vérifier vos factorisations.

Fonctionne-t-il avec des nombres négatifs ou décimaux ? Oui. N'importe quels nombres réels sont acceptés pour a et b.