Ce que fait ce calculateur
Le calculateur des identités d'addition et de soustraction évalue les quatre identités trigonométriques fondamentales pour deux angles a et b : \(\sin(a+b)\), \(\sin(a-b)\), \(\cos(a+b)\) et \(\cos(a-b)\). Ces identités permettent d'exprimer la fonction trigonométrique d'un angle composé en fonction du sinus et du cosinus de chaque angle pris séparément — un outil indispensable pour simplifier des expressions, résoudre des équations et démontrer d'autres identités.
Comment l'utiliser
Saisissez vos deux angles dans les champs Angle a et Angle b, indiquez s'ils sont exprimés en degrés ou en radians, et le calculateur affiche les quatre résultats d'un seul coup. Les angles décimaux sont entièrement pris en charge, et le mode radians accepte des valeurs telles que \(\pi/6 \approx 0{,}5236\).
Les formules expliquées
Les identités s'écrivent ainsi : $$\begin{aligned} \sin(a \pm b) &= \sin a \cos b \pm \cos a \sin b \\ \cos(a \pm b) &= \cos a \cos b \mp \sin a \sin b \end{aligned}$$ Observez la logique des signes : pour le sinus, les signes correspondent à l'entrée (+ donne +), tandis que pour le cosinus ils s'inversent (+ donne −). En interne, le calculateur convertit les degrés en radians et évalue chaque terme à l'aide des fonctions sinus et cosinus classiques.
Exemple concret
Prenons \(a = 30°\) et \(b = 45°\). On a alors \(\sin 30° = 0{,}5\), \(\cos 30° = 0{,}8660\), \(\sin 45° = \cos 45° = 0{,}7071\). Donc $$\sin(75°) = 0{,}5 \cdot 0{,}7071 + 0{,}8660 \cdot 0{,}7071 \approx 0{,}9659,$$ et $$\cos(75°) = 0{,}8660 \cdot 0{,}7071 - 0{,}5 \cdot 0{,}7071 \approx 0{,}2588.$$ Le calculateur confirme les deux résultats instantanément.
FAQ
Pourquoi les signes s'inversent-ils pour le cosinus ? Le signe moins découle directement de la démonstration fondée sur le cercle trigonométrique et la rotation des points ; c'est une caractéristique propre à l'identité du cosinus.
Puis-je utiliser des angles négatifs ? Oui. Les valeurs négatives fonctionnent correctement et respectent les propriétés de parité (fonction paire/impaire) du sinus et du cosinus.
S'agit-il des mêmes formules que les formules d'addition des angles ? Oui — les « identités d'addition et de soustraction » et les « formules d'addition / de soustraction des angles » désignent exactement le même ensemble d'identités.
