Qu'est-ce que la somme des carrés ?
La somme des carrés (SS, de l'anglais sum of squares) mesure le total des écarts au carré de chaque donnée par rapport à la moyenne de la série. C'est une grandeur fondamentale en statistique, utilisée pour calculer la variance, l'écart type, la régression et l'analyse de la variance (ANOVA). Plus la somme des carrés est élevée, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne ; une valeur nulle signifie que toutes les données sont identiques.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos nombres séparés par des virgules ou des espaces (par exemple 4, 8, 15, 16, 23, 42) et le calculateur affiche la somme des carrés ainsi que l'effectif, la somme, la moyenne, la variance de population et la variance d'échantillon. Aucune restriction sur le type de valeurs : utilisez des nombres entiers, décimaux ou négatifs.
La formule expliquée
La somme des carrés se définit par $$SS = \sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2$$ Commencez par calculer la moyenne \(\bar{x}\) en divisant la somme de toutes les valeurs par l'effectif \(n\). Soustrayez ensuite la moyenne de chaque valeur pour obtenir son écart, élevez chaque écart au carré, puis additionnez le tout. Le carré rend chaque écart positif et accorde un poids plus important aux valeurs éloignées de la moyenne.
Exemple concret
Prenons les valeurs 2, 4, 6, 8. La moyenne vaut \((2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 5\). Les écarts sont \(-3, -1, 1, 3\), et leurs carrés \(9, 1, 1, 9\). En les additionnant, on obtient \(SS = 20\). En divisant par \(n = 4\), on trouve une variance de population de \(5\), et en divisant par \(n - 1 = 3\), une variance d'échantillon d'environ \(6{,}67\).
FAQ
La somme des carrés est-elle identique à la variance ? Non. La variance correspond à la somme des carrés divisée par \(n\) (population) ou par \(n - 1\) (échantillon). La SS est le total non normalisé.
La somme des carrés peut-elle être négative ? Non. Comme chaque écart est élevé au carré, tous les termes sont nuls ou positifs : la SS est donc toujours \(\geq 0\).
Faut-il utiliser la variance de population ou d'échantillon ? Utilisez la variance d'échantillon \((SS / (n - 1))\) lorsque vos données constituent un échantillon prélevé dans une population plus large ; utilisez la variance de population \((SS / n)\) lorsque vos données représentent l'ensemble de la population.
