제곱합이란?
제곱합(SS, Sum of Squares)은 각 데이터 값이 데이터 집합의 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 제곱하여 모두 더한 값입니다. 분산, 표준편차, 회귀분석, 분산분석(ANOVA) 등 다양한 통계 계산의 기초가 되는 핵심 지표죠. 제곱합이 클수록 값들이 평균을 중심으로 더 넓게 퍼져 있다는 뜻이고, 0이라면 모든 데이터 값이 동일하다는 의미입니다.
계산기 사용 방법
숫자를 쉼표나 공백으로 구분해 입력하세요(예: 4, 8, 15, 16, 23, 42). 그러면 제곱합과 함께 개수, 합계, 평균, 모분산, 표본분산이 한꺼번에 계산됩니다. 입력할 수 있는 값의 종류에는 제한이 없으며, 정수·소수·음수 모두 사용할 수 있습니다.
공식 자세히 보기
제곱합은 다음과 같이 정의됩니다.
$$SS = \sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2$$먼저 모든 값을 더한 뒤 개수 \(n\)으로 나누어 평균 \(\bar{x}\)를 구합니다. 그다음 각 값에서 평균을 빼서 편차를 구하고, 각 편차를 제곱한 후 모두 더하면 됩니다. 제곱을 하면 모든 편차가 양수가 되며, 평균에서 멀리 떨어진 값일수록 더 큰 가중치를 갖게 됩니다.
예제 풀이
값이 2, 4, 6, 8이라고 해봅시다. 평균은 \((2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 5\)입니다. 각 편차는 \(-3, -1, 1, 3\)이고, 이를 제곱하면 \(9, 1, 1, 9\)가 됩니다. 이들을 모두 더하면 \(SS = 20\)이 됩니다. 이 값을 \(n = 4\)로 나누면 모분산은 \(5\), \(n - 1 = 3\)으로 나누면 표본분산은 약 \(6.67\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
제곱합과 분산은 같은 건가요? 아닙니다. 분산은 제곱합을 \(n\)(모집단) 또는 \(n - 1\)(표본)로 나눈 값입니다. 제곱합은 나누기 전의 총합이라고 보면 됩니다.
제곱합이 음수가 될 수 있나요? 아닙니다. 각 편차를 제곱하기 때문에 모든 항이 0 이상이며, 따라서 제곱합은 항상 0 이상입니다.
모분산과 표본분산 중 어느 것을 써야 하나요? 데이터가 더 큰 모집단에서 뽑은 표본이라면 표본분산(\(SS / (n - 1)\))을, 데이터가 전체 모집단을 나타낸다면 모분산(\(SS / n\))을 사용하세요.
