ما هو مجموع المربعات؟
يقيس مجموع المربعات (SS) إجمالي الانحرافات التربيعية لكل نقطة بيانات عن متوسط مجموعة البيانات. وهو كمية أساسية في علم الإحصاء، تُستخدم في حساب التباين والانحراف المعياري والانحدار وتحليل التباين (ANOVA). فكلما زادت قيمة مجموع المربعات، دلّ ذلك على أن القيم أكثر تشتتًا حول المتوسط، بينما تعني القيمة صفر أن جميع نقاط البيانات متطابقة تمامًا.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أرقامك مفصولة بفواصل أو مسافات (على سبيل المثال 4, 8, 15, 16, 23, 42) وستُرجع الحاسبة مجموع المربعات إلى جانب العدد والمجموع والمتوسط وتباين المجتمع وتباين العينة. ولا يوجد أي قيد على نوع القيم — يمكنك استخدام أعداد صحيحة أو عشرية أو سالبة.
شرح الصيغة
يُعرَّف مجموع المربعات بالصيغة $$SS = \sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2$$ أولًا، احسب المتوسط \(\bar{x}\) بقسمة مجموع جميع القيم على العدد \(n\). ثم اطرح المتوسط من كل قيمة للحصول على انحرافها، وربّع كل انحراف، ثم اجمعها جميعًا. ويجعل التربيع كل انحراف موجبًا، ويمنح وزنًا أكبر للنقاط الأبعد عن المتوسط.
مثال محلول
لنأخذ القيم 2 و4 و6 و8. المتوسط هو \((2 + 4 + 6 + 8) \div 4 = 5\). والانحرافات هي \(-3\) و\(-1\) و\(1\) و\(3\)، ومربعاتها هي \(9\) و\(1\) و\(1\) و\(9\). وبجمع هذه القيم نحصل على $$SS = 20.$$ وبقسمتها على \(n = 4\) نحصل على تباين مجتمع يساوي \(5\)، وبقسمتها على \(n - 1 = 3\) نحصل على تباين عينة يساوي نحو \(6.67\).
الأسئلة الشائعة
هل مجموع المربعات هو نفسه التباين؟ لا. التباين هو مجموع المربعات مقسومًا على \(n\) (للمجتمع) أو على \(n - 1\) (للعينة)، أما مجموع المربعات فهو الإجمالي غير المُقسَّم.
هل يمكن أن يكون مجموع المربعات سالبًا؟ لا. لأن كل انحراف يُربَّع، فإن كل حد يكون صفرًا أو موجبًا، ومن ثم يكون \(SS\) دائمًا \(\geq 0\).
هل أستخدم تباين المجتمع أم تباين العينة؟ استخدم تباين العينة (\(SS \div (n - 1)\)) عندما تكون بياناتك عينة مأخوذة من مجتمع أكبر؛ واستخدم تباين المجتمع (\(SS \div n\)) عندما تمثّل بياناتك المجتمع بأكمله.
