Что такое сумма квадратов?
Сумма квадратов (SS, от англ. sum of squares) показывает суммарное квадратическое отклонение каждого значения от среднего по набору данных. Это базовая величина в статистике: на ней строятся расчёты дисперсии, стандартного отклонения, регрессии и дисперсионного анализа (ANOVA). Чем больше сумма квадратов, тем сильнее значения разбросаны вокруг среднего; нулевое значение означает, что все точки данных одинаковы.
Как пользоваться калькулятором
Введите числа через запятую или пробел (например, 4, 8, 15, 16, 23, 42) — калькулятор выдаст сумму квадратов, а вместе с ней количество значений, сумму, среднее, дисперсию по совокупности и дисперсию по выборке. Ограничений по типу чисел нет: подойдут целые, дробные и отрицательные значения.
Разбор формулы
Сумма квадратов задаётся формулой $$SS = \sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2$$ Сначала находим среднее \(\bar{x}\), разделив сумму всех значений на их количество \(n\). Затем из каждого значения вычитаем среднее, чтобы получить отклонение, возводим каждое отклонение в квадрат и складываем результаты. Возведение в квадрат делает все отклонения положительными и придаёт больший вес тем точкам, которые сильнее удалены от среднего.
Пример расчёта
Возьмём значения 2, 4, 6, 8. Среднее равно \((2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 5\). Отклонения составляют \(-3, -1, 1, 3\), а их квадраты — \(9, 1, 1, 9\). Сложив их, получаем \(SS = 20\). Разделив на \(n = 4\), находим дисперсию по совокупности, равную 5, а разделив на \(n - 1 = 3\) — дисперсию по выборке, примерно 6,67.
Частые вопросы
Сумма квадратов — это то же самое, что дисперсия? Нет. Дисперсия — это сумма квадратов, делённая на \(n\) (для совокупности) или на \(n - 1\) (для выборки). SS же представляет собой неприведённое суммарное значение.
Может ли сумма квадратов быть отрицательной? Нет. Поскольку каждое отклонение возводится в квадрат, любое слагаемое равно нулю или положительно, поэтому \(SS \geq 0\) всегда.
Какую дисперсию использовать — по выборке или по совокупности? Применяйте дисперсию по выборке (\(SS / (n - 1)\)), когда ваши данные — это выборка из большей совокупности; используйте дисперсию по совокупности (\(SS / n\)), когда данные охватывают всю совокупность целиком.
